Оригинално заглавие:

HELLY'S THEOREM AND ITS RELATIVES by LUDWIG DANZER, BRANKO GRÜNBAUM and VICTOR KLEE from CONVEXITY Proceedings of symposia in pure mathematics volume VII AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY PROVIDENCE, RHODE ISLAND 1963

*

АННОТАЦИЯ

Весьма полный обзор работ, связанных с известной теоремой Хеллн о выпуклых телах с общими точками. В нем рассматри­ваются различные варианты и обобщения этой теоремы, а также ее приложения к самым разнообразным математическим задачам.

В настоящее издание внесены дополнения и исправления, позволяющие читателю ознакомиться с новейшими результатами, в том числе и с теми, которые до сих пор не опубликованы.

Обзор отличается богатством геометрического содержания и будет интересен всем, кто любит геометрию.

**

***

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Последние десятилетия ознаменовались заметным изменением облика всей математики и, в частности, геометрии. Одним из проявлений этого явилось резкое возрастание интереса к так называемой «дискретной геометрии», изучающей покрытия либо всего простран­ства (или плоскости), либо какой-либо его части (чаще всего выпуклыми) телами, упаковки или запол­нения пространства (выпуклыми) телами и разбиения его на (выпуклые) части; в эти же годы возникло еще одно родственное дискретной геометрии (и также весьма геометричное по своим задачам и методам) направление математики — так называемая комбина­торная геометрия. Этот последний раздел, которому и посвящен настоящий обзор, занимается связанными с учением о выпуклых телах экстремальными за­дачами о дискретных системах фигур и точек, имею­щими ярко выраженный комбинаторный характер, т. е. сводящимися к нахождению тех или иных целочислен­ных характеристик этих расположений; типичными примерами предложений комбинаторной геометрии яв­ляются центральная для настоящей книги теорема Хелли о системах выпуклых тел с общими точками (см. ее формулировку на стр. 11) или так называемая «проблема Борсука» (см. стр. 76), касающаяся разбие­ний тел на части меньшего диаметра. Сам термин «комбинаторная геометрия» восходит, видимо, к выдающемуся швейцарскому геометру Гуго Хадвиге-ру (см. его статьи [4], [5] и книгу Г. Хадвигер и Г. Дебруннер [3]; в последующее развитие этого интересного раздела геометрии наибольший вклад внесли авторы настоящего обзора Бранко Грюнбаум, Людвиг Данцер и Виктор Кли.

Этот  обзор  первоначально  был  опубликован в томе докладов, прочитанных в 1961 г. на симпозиу­ме по вопросам выпуклости в г. Сиэтле (США); ука­занный том, вышедший в свет в 1963 г., составил вып. 7 серии  .монографий   Американской математической ассоциации. Однако статья Л. Данцера, Б. Грюнбаума и В. Кли явно выглядела «книгой в книге»; так, например,  она  начиналась с оглавления и конча­лась указателями  (хотя вся книга в целом также, разумеется, имела оглавление и указатели); поэтому отдельное ее издание представляется весьма умест­ным. Статья захватывает ряд разделов «комбинатор­ной геометрии» — в первую очередь те, которые так или иначе связаны со знаменитой теоремой Хелли о системах выпуклых тел с общими точками.

Авторы указывают, что они стремились сделать свой обзор одновременно общедоступным и исчерпы­вающим по полноте. Доступность книги определяется ограниченностью предполагаемых у читателя предва­рительных знаний (хотя заключительная часть § 4 предполагает владение некоторыми простейшими поня­тиями топологии')) —и в этом отношении ее вполне можно рекомендовать студентам-математикам младших курсов. Однако надо иметь в виду, что хотя этот обзор почти не содержит доказательств сообщаемых теорем, он никак не рассчитан на быстрое чтение: написана эта книга весьма сжато и предполагает у читателя опреде­ленный уровень математической культуры. «Энцикло­педическую полноту» обзора мы не стремились пол­ностью сохранить и в русском переводе: немногочислен­ные подстрочные примечания редактора и ссылки на новую литературу имеют лишь иллюстративный харак­тер и не претендуют на охват всего материала по теме книги, появившегося после 1963 г. [Добавленные при переводе названия книг и статей в библиографическом указателе помечены звездочками '); не все из них упо­минаются в подстрочных примечаниях редактора.] До­полнительно читателю  можно рекомендовать содер­жащую большой конкретный материал (и обширную библиографию) книгу Ф. Валентина [10]; все свя­занные с выпуклыми многогранниками комбинаторные вопросы  с  большой  полнотой  освещены   в книге Б. Грюнбаума [22]; по поводу проблематики, при­мыкающей  к  уже упоминавшейся выше «проблеме Борсука»,   см.   книгу   В.   Г.   Болтянского и И. Ц. Гохберга [1]. Наконец, кругу проблем, так или иначе связанных с «дискретной геометрией», по­священы   монография   Роджерса  [3] и печатаю­щийся в издаваемых Институтом Научной информа­ции   АН   СССР   сборниках  «Итоги  науки» обзор Е. П. Барановского «Упаковки, покрытия и раз­биения в пространствах постоянной кривизны».

Весной 1968 г., когда книга уже находилась в типо­графии, ее редактор получил письма от авторов, со­держащие ряд дополнений и исправлений. Исправления внесены непосредственно в текст, а дополнения составили целый раздел «Примечания и дополнения», помещенный в конце книги; в надлежащих местах текста сделаны сноски, номера которых, помещенные в квадратные скобки  (й1, Р1 и т. д.), указывают со­ответствующее примечание или дополнение. Много­численные библиографические ссылки на работы по­следних лет образовали «Дополнительную библиогра­фию». Дополнительная библиография является непо­средственным   продолжением  основной;  они соста­вляют единое целое (например, работы Грюнбаума [1]—[22] читатель найдет в основной библиографии, а [23]—[25] — в дополнительной). Автор этих строк счи­тает своим приятным долгом поблагодарить Л. Данце-ра, Б. Грюнбаума и В. Кли за присланные ими мате­риалы,  позволяющие советскому читателю ознако­миться с новейшими результатами, в том числе и с теми, которые до сих пор оставались неопубликован­ными.

И. М. Яглом

---------------

1) Необходимые понятия и предложения читатель сможет найти, например, в книге П. С. Александрова [I].

2) За помощь в пополнении библиографии редактор весьма признателен В. А. Залгаллеру и Ю. А. Шишкину.