В теории фазовых переходов в последнее время широко применяются современные математические методы исследова­ния. Ряд этих методов отражен в книге. В оспово лежат фор­мализм, позволяющий изучать непосредственно бесконечные системы статистической механики в пространство млн мм ре­шетке. Последовательное применение этого формализма дает возможность строить фазовые диаграмме.! решетчатых систем при низких температурах (вторая глава), исследовать отсут­ствие или наличие споптаппого нарушении непрерывной сим­метрии (третья глава). В четвертой, последней"!, глина размина­ется математический подход к методу ренормгруппы Вильсо­на — Каданова — Фишера.

Для научных сотрудников, а такжо студентои старших курсов и аспирантов в области теоретической и математиче­ской физики.

**

***

ПРЕДИСЛОВИЕ

Идея написания этой книги появилась во время моих лекций по математическим проблемам статисти­ческой физики, которые я читал в Институте матема­тики Академии наук Венгрии летом 1976 года. Замы­сел ее состоял в том, чтобы изложить ряд строгих результатов, группирующихся около основных идей теории фазовых переходов. В ней нет систематиче­ского изложения основных понятий, общих теорем и т. п. статистической механики. Однако почти все фак­ты изложены в книге со всей полнотой, и поэтому читатель, разобравший тот или иной ее раздел, сможет довольно быстро включиться в одно из разнообразных актуальных направлений теории фазовых переходов. Таким образом, следует считать, что книга получилась рассчитанной или на специалистов в области стати­стической физики или на тех, кто намерен ею непос­редственно и всерьез заняться.

Книга состоит из четырех глав. В первой главе приведены определения гамильтониана, его группы симметрии и предельного распределения Гиббса, отве­чающего данному гамильтониану. Изложение ведется для решетчатого случая, поскольку только этот случай в дальнейшем в основном обсуждается. Мы приводим различные примеры гамильтонианов: гамильтониан модели Изинга, гамильтонианы с непрерывной симмет­рией, гамильтонианы решетчатых моделей квантовой теории поля, гамильтонианы решетчатых полей Ян-га — Миллса и т. п. Далее излагаются общие резуль­таты о существовании предельных распределений Гиббса. В качестве примера показывается существо­вание предельных распределений Гиббса для решетча­тых моделей квантовой теории поля.

Во второй главе рассматриваются фазовые диаграм­мы решетчатых моделей при низких температурах. Здесь вводятся понятия основного состояния гамиль­тониана и устойчивости множества основных состоя­ний. В случае периодических конфигураций осповпые состояния можно определить как конфигурации с наи­меньшей удельной энергией. Условие устойчивости основных состояний, которое мы называем условном Пайерлса, состоит, грубо говоря, в том, что разность энергий локального возмущения основного состояпия и самого осповного состояпия пропорциональна пло­щади границы, разделяющей области, занятью различ­ными основными состояниями. В предположении ко­нечности числа периодических основпых' состояний и выполнения условия Пайерлса доказывается общее утверждение, связывающее структуру множества пе­риодических предельных распределений Гиббса с мно­жеством основных состояний. Этот результат получен при помощи обобщения так называемого контурного метода Пайерлса, предложенного им для доказатель­ства существования дальпего порядка в модели Изин-га при больших значениях параметра р. Из педагоги­ческих соображений в начале главы мы приводим отдельпо доказательство для модели Изипга. В конце главы обсуждается понятие основного состояния для двумерных моделей квантовой теории поля. Несколько неожиданным оказывается, что когда константа взаи­модействия стремится к бесконечности, число основных состояний не зависит от части гамильтониана, опи­сывающей взаимодействие.

В третьей главе приводятся основные теоремы о фа­зовых переходах в решетчатых моделях с непрерыв­ной симметрией: в двумерном случае теорема Добру-шина — Шлосмана о симметрии любого предельного распределения Гиббса относительно группы симметрии гамильтониана, являющаяся естественным обобщением теоремы Мермина — Вагнера, и теорема Саймона — Спенсера — Фрелиха о наличии спонтанного наруше­ния непрерывной симметрии в моделях размерности три и выше при больших [Г Перед доказательством этих теорем дается эвристическое объяснение роли раз­мерности в духе общей теории Голдстоуна.

Четвертая глава посвящена фазовым переходам второго рода и связанной с ними теории автомодель­ных распределений вероятностей. Подробно обсужда­ются иерархические модели Дайсона, на примере кото­рых можно проследить особенности основного метода теории — метода ренормгруппы. Центральное понятие теории — понятие автомодельного распределения веро­ятностей. Такие распределения важны потому, что они возникают как предельные распределения для блок-спинов в критической точке. Автомодельные рас­пределения легко найти в классе гауссовских стацио­нарных распределений. Гораздо более трудным явля­ется вопрос о виде пегауссовских автомодельных рас­пределений, которые встречаются в наиболее интерес­ных задачах. При построении таких распределений и, вообще, во всей теории важную роль играет понятие линеаризованной ренормгруппы и ее спектра. Для га­уссовских автомодельных распределений спектр линеа­ризованной ренормгруппы вычисляется в явпом виде. Благодаря этому находятся значения параметра, при котором в спектре появляется собственное значение, равное 1. В окрестности таких значений на основе теории бифуркаций строятся формальные ряды типа хорошо известных е-разложений для негауссовских ав­томодельных распределений.

В конце каждой главы приведена библиография вместе с небольшими комментариями. Число работ, от­носящихся к математической теории фазовых перехо­дов в статистической механике и квантовой теории поля, составляет уже несколько сотен. Приводимый нами список литературы заведомо неполон и включает в себя только работы, так или иначе связанные с текстом.

При написании этой книги существенную помощь мне оказали мои коллеги из Будапешта А. Крамли, П. Майер, Д. Сас и И. Фритц. Без их энтузиазма и большого труда, который они вложили, эта книга не была бы написана. Содержание книги я неоднократно и с большой пользой для себя обсуждал с И. М. Лиф-шицем. Р. Л. Добрушин прочитал рукопись и сделал много полезных замечаний. Большую помощь оказали мои ученики П. М. Блехер, Е. И. Динабург, Д. Г. Мартиросян, С. А. Пирогов, Е. В. Гусев, Э. Жалис, М. Д. Миссаров, Н. А. Монина, А. Наимжанов и К. М. Ханин, как своими замечаниями по поводу тек­ста, так и непосредственным участием в оформлении рукописи.

Я искренне благодарю за это участие и приношу всем свою самую сердечную признательность.

Я. Г. Синай