Оригинално заглавие:
THE THEORY OF FUNCTIONS BY E. C. TITCHMARSH
M. A., F.R.S. Savilian Professor of Geometry in the University of Oxford Second Edition [1939]
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
(с грешки от сканирането на математическите символи)
Предисловие переводчика 6
Предисловие автора ко второму изданию 7
Из предисловия автора к первому изданию 7
Глава I. Ряды, бесконечные произведения, несобственные интегралы 9
1.1. Равномерная сходимость ряда 10
1.2. Ряды с комплексными членами. Степенные ряды 18
1.3. Ряды, которые не сходятся равномерно 21
1.4. Бесконечные произведения 23
1.5. Сходимость несобственных интегралов . 30
1.6. Двойные ряды 38
1.7. Интегрирование рядов 48
1.8. Повторные интегралы. Гамма-функция 62
1.9. Дифференцирование интегралов 73
Глава II. Аналитические функции 30
2.1. Функции комплексного переменного 80
2.2. Дифференциальное исчисление в комплексной области 87
2.3. Интегрирование в комплексной области. Теорема Коши 87
2.4. Интеграл Коши 98
2.5. Неравенство Коши. Теорема Лиувилля^ 102
2.6. Нули аналитической функции 106
2.7. Ряд Лорана 107
2.8. Ряды и интегралы аналитических функций 114
2.9. Замечание о рядах Лорана 120
Глава III. Вычеты. Контурное интегрирование. Нули 121
3.1. Вычеты. Контурное интегрирование 121
3.2. Мероморфные функции. Целые функции 130
3.3. Суммирование некоторых рядов 135
3.4. Полюсы и нули мероморфной функции 136
3.5. Функции 1/(2)1, Ре {/(2)}, 1т {/(*)} НО
3.6. Интеграл Пуассона. Теорема Иенсена 145
3.7. Теорема Карлемана . 152
3.8. Теорема Литтльвуда 154
Глава IV. Аналитическое продолжение 160
4.1. Общая теория 160
4.2. Особенности 165
4.3. Римановы поверхности 168
4.4. Функции, определенные интегралами. Гамма-функция. Дзета-функция 169
4.5. Принцип отражения 178
4.6. Мультипликационная теорема Адамара 181
4.7. Функции с естественными границами . 183
Глава V. Теорема о максимуме модуля 190
5.1. Теорема о максимуме модуля 190
5.2. Лемма Шварца. Теорема Витали. Теорема Монтеля 194
5.3. Теорема Адамара о трех окружностях 198
5.4. Средние значения \/{г)\ . 199
5.5. Теорема Бореля и Каратеодори 201
5.6. Теоремы Фрагмена и Линделефа 203
5.7. Функция Фрагмена-Линделефа к (0) 208
5.8. Применения 213
Глава VI. Конформное отображение 216
6.1. Конформное отображение 216
6.2. Линейное преобразование 218
6.3. Различные другие преобразования 224
6.4. Однолистные функции 226
6.6. Отображение многоугольника на полуплоскость . 234
6.7. Отображение произвольной области на круг 236
6.8. Дальнейшие свойства однолистных функций . 238
Глава VII. Степенные ряды с конечным радиусом сходимости 242
7.1. Круг сходимости 242
7.2. Расположение особых точек 243
7.3. Сходимость ряда и регулярность функции 247
7.4. Сверхсходимость. Теоремы о пропусках . 250
7.5. Асимптотическое поведение функции вблизи границы круга сходимости 254
7.6. Теорема Абеля и ее обращение 260
7.7. Частичные суммы степенного ряда 267
7.8. Нули частичных сумм 270
Глава VIII. Целые функции 279
8.1. Разложение целой функции на множители 279
8.2. Функции конечного порядка 281
8.3. Коэффициенты разложения функции конечного порядка 286
8.4. Примеры 288
8.5. Производная , 291
8.6. Функции, все нули которых вещественны 294
8.7. Минимум модуля 299
8.8. а-точки целой функции. Теорема Пикара 304
8.9. Мероморфные функции 314
Глава IX. Ряды Дирихле 325
9.1. Введение. Сходимость. Абсолютная сходимость 325
9.2. Сходимость ряда и регулярность функции 330
9.3. Асимптотическое поведение функции при /->-оо 331
9.4. Функции конечного порядка 335
9.5. Формула для среднего значения. Полуплоскость со средними значениями 340
9.6. Теорема единственности. Нули 346
9.7. Представление функций рядами Дирихле 350
Глава X. Теория меры и интеграл Лебега 356
10.1. Интегрирование по Риману
10.2. Множества точек. Мера 357
10.3. Измеримые функции 370
10.4. Интеграл Лебега от ограниченной функции 372
10.5. Ограниченная сходимость 377
10.6. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана 380
10.7. Интеграл Лебега от неограниченной функции 381
10.8. Общие теоремы о сходимости 386
10.9. Интегралы по бесконечному интервалу 388
Глава XI. Дифференцирование и интегрирование 390
11.1. Введение 390
11.2. Дифференцируемость. Недифференцируемые функции 391
11.3. Производные числа функции 395
11.4. Функции ограниченной вариации 396
11.5. Интегралы 401
11.6. Лебеговское множество . 405
11.7. Абсолютно непрерывные функции 406
11.8. Интегрирование производной 409
Глава XII. Дальнейшие теоремы об интегрировании по Лебегу 418
12.1. Интегрирование по частям 418
12.2. Аппроксимация интегрируемой функции. Замена независимого переменного 419
12.3. Вторая теорема о среднем значении 423
12.4. Лебеговские классы Ьр с . . . . 424
12.5. Сходимость в среднем 430
12.6. Повторные интегралы 434
Глава XIII. Ряды Фурье . 445
13.1. Тригонометрические ряды и ряды Фурье 445
13.2. Интеграл Дирихле. Признаки сходимости 448
13.3. Суммирование ряда арифметическими средними 457
13.4. Непрерывная функция с расходящимся рядом Фурье 463
13.5. Интегрирование рядов Фурье. Теорема Парсеваля 466
13.6. Функции класса /А Неравенство Бесселя. Теорема Рисса-Фишера 469
13.7. Свойства коэффициентов Фурье 472
13.8. Единственность тригонометрических рядов 475
13.9. Ряды Фурье для произвольного интервала. Интегралы Фурье 480
Библиография 494
Алфавитный указатель 500
**
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Выпускаемая в русском переводе книга Титчмарша содержит изложение нескольких основных разделов теории функций действительного и комплексного переменного. Это изложение не является систематическим: в книге нет, например, многого такого, что входит у нас в обязательный университетский курс. Зато оно не является и формальным: стремясь главным образом к тому, чтобы ввести читателя в круг основных фактов, идей и методов, автор всегда выясняет внутренний смысл получающихся соотношений. В этом —главная ценность книги, В ней имеется также много хорошо подобранных задач и ряд теорем, которых нельзя найти в других учебниках. Книга будет полезна в первую очередь студентам-математикам средних и старших курсов университетов, аспирантам и преподавателям.
Основное направление книги — аналитическое. Этим обусловлен как выбор материала, так и характер изложения. Вопросам геометрической природы уделяется мало внимания. Иногда они просто игнорируются и тогда рассуждения автора теряют строгость. Читатель, который захочет восполнить этот пробел, сможет найти достаточно строгое изложение этих вопросов в «Теории аналитических функций» А. И. Маркушевича.
Перевод сделан со второго английского издания. Несколько примеров, выпущенных автором в этом издании, пришлось взять из первого издания, так как на них сохранились ссылки. При переводе в тексте исправлены многочисленные мелкие ошибки и опечатки. По поводу других погрешностей, относящихся главным образом к указанным выше геометрическим вопросам, сделано несколько подстрочных примечаний, всюду отмеченных как примечания переводчика. Литературные ссылки автора заменены, где это возможно, ссылками на русские переводы и в некоторых местах дополнены ссылками на другие сочинения, имеющиеся на русском языке. В частности, ссылки на «Курс чистой математики» Харди дополнены ссылками на «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Г, М, Фихтенгольца, обозначаемый в дальнейшем буквой Ф,
***
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При перепечатке первого издания в текст было внесено большое количество незначительных исправлений и улучшений. Я должен благодарить многих коллег, помогших мне в пересмотре книги. Единственным крупным изменением является то, что я включил в главу VIII краткое введение в теорию мероморфных функций. Это стало возможно благодаря тому, что некоторые относительно менее важные разделы были изложены более сжато и теория гамма-функции была перенесена в главу IV, где она содержит теперь более полное исследование формулы Стерлинга.
****
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга возникла из лекций, которые я читал в последние годы студентам университетского колледжа в Лондоне и студентам университета в Ливерпуле. Она состоит из нескольких не очень связанных между собой введений в различные отделы теории функций—как действительного, так и комплексного переменного. Я думаю, что для среднего студента существующая литература по этим вопросам трудно преодолима, и я надеюсь, что эти главы перекинут мост от элементарных учебников к систематическим курсам теории функций.
У читателя предполагается некоторое знакомство с элементарным анализом. Под элементарным анализом мы понимаем, грубо говоря, то, что содержится в Курсе чистой математика Харди. В остальном книгу можно читать, не обращаясь к другим руководствам. Порядок изучения глав в известных пределах произволен. Последние четыре главы можно читать сразу после главы I. Если не считать отдельных ссылок, то предшествующая часть книги от них не зависит; но то, что они содержат, есть такая же необходимая часть снаряжения современного аналиста, как и старая теория аналитических функций.
В конце каждой главы дано некоторое число различных примеров. Часть из них требует лишь более или менее непосредственного применения, изложенного в книге. Другие являются более трудными теоремами, не нашедшими места в тексте. Они сопровождаются указаниями на способ решения и ссылками на источники.
