Книга отличается экономностью изложения и естественностью определений, которые достигаются отделкой доказательств и специальным построением теории. Изложение ведется на конкретном материале и прививает навыки самостоятельного обращения с изучаемыми объектами.
Главы «Теория множеств» и «Действительные числа» могут предшествовать серьезному курсу математического анализа. Дальнейшие главы кпигп излагают материал, обычно входящий в курс теории функций или «дополнительных глав анализа».
Книга предназначена для студентов и аспирантов математических отделений (университетов, пединститутов и вузов с математическими специальностями).
В книге 13 рисунков.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Теория множеств 7
§ 1. Множества 7
§ 2. Взаимно однозначное соответствие 10
§ 3. Операции над множествами 12
§ 4. Счетные множества 14
§ 5. Мощность 20
§ 6. Арифметика мощностей 23
§ 7. Приложение арифметики мощностей 30
§ 8. Разбиение на классы 34
§ 9.0 парадоксах теории множеств 35
Глава 2. Действительные числа 37
§ 1. Натуральные числа 37
§ 2. Цель построения и ожидаемые свойства действительных чисел 37
§ 3. Определение действительных чисел 39
§ 4. Верхняя граница и верхняя грань .... 41
§ 5. Отрицательные числа 44
§ 6. Арифметические действия 44
Добавление к главе 2. Арифметические действия 45
Глава 3. Мера Лебега 55
§ 1. Внешняя мера 55
§ 2. Измеримость (определение Каратеодорп) 57
§ 3. Аппроксимации но внешней мере 61
§ 4. Измеримость (определение Лебега) 61
§ 5. Аппроксимации по мере 62
§ 6. Покрытие Витали 64
§ 7. Плотность 67
Глава 4. Измеримые функции
§ 1. Определение и основные свойства измеримых функций
§ 2. Аппроксимативная непрерывность .... 80
§ 3. Производные числа 82
Глава 5. Трансфиниты
§ 1. Упорядоченные множества 94
§ 2. Вполне упорядоченные множества ... 95
§ 3. Длина 97
8 4 Построение множества следующей мощности
§ 5. Трансфипитная индукция
§ 6. Постулат выбора и теорема о полном упорядочении
§ 7. Приложения постулата выбора
§ 8. Натуральный ряд
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
1. Теория функций действительного переменного (ТФДП) появилась на рубеже 19—20 веков. Она была вызвана потребностью обосновать математический анализ, затем сложилась в самостоятельную дисциплину и наконец, став основой математики в целом, породила несколько разделов математики.
Методы ТФДП своеобразны — они требуют в большей степени умения обращаться с объектами теории, нежели знания результатов, или владения аппаратом. Проще всего такое умение приобретается на конкретном материале. Поэтому ТФДП обладает совершенно исключительной наглядностью, но оставляет обобщения другим разделам математики.
2. Перейдем к отдельным главам, чтобы дать специалисту представление об этой книге.
2.1. Изучение теории множеств не может быть начато слишком рано. И первая глава написана так, чтобы предшествовать курсу анализа (для этого, например, континуум вводится как система подмножеств счетного множества). По нашему опыту теория множеств развивает математическую культуру учащегося более иных дисциплин, а затраченное время с лихвой окупается при прохождении курса анализа.
Другое отличие нашего изложения состоит здесь в систематическом использовании арифметики мощностей.
2.2. В построении действительных чисел мы стремились к наглядности, и поэтому ввели числа как десятичные дроби. При этом мы выполнили программу, намеченную Лебегом и частично развитую Валле-Пуссеном. На этом пути легко установить существование граней и определить арифметические действия. Что касается доказательства алгебраических тождеств (например, дистрибутивности), то, выбирая между аксиоматическим построением действительных чисел (когда эти тождества постулируются) и нудной проверкой этих свойств, мы предпочли перечислить алгебраи-ческие свойства в качестве недоказанных теорем. Учащемуся представляется возможность либо самостоятельно доказать эти тождества, либо вернуться к ним после теории пределов и непрерывных функций (не пользующихся ими) и найти в приложении ко 2 й главе естественные доказательства.
2.3. При построении меры Лебега мы стремились к экономности изложения и предпослали определению Лебега определение Кара-теодори. На этом пути легко получается измеримость объединения (измеримых множеств) и осуществляется возврат к определению измеримости, данному самим Лебегом. Рукопись первой части 3-й главы прочел М. Я. Вайнштейн. Его советы я с благодарностью выполнил. Во второй части 3-й главы содержится доказательство теоремы о точках плотности (и точках внешней плотности неизмеримых множеств) .
2.4. Во второй части главы 4 мы излагаем асимптотическую непрерывность, не опираясь на понятие интеграла. В третьей части этой главы теорема Данжуа доказывается без предположения о измеримости функций, поскольку такое доказательство оказывается самым простым. Построением второй части главы 3 и второй и третьей частей главы 4 мы обязаны А. С. Кронроду, который при построении теории функций двух действительных переменных довел доказательства трудных теорем метрической ТФДП до естественных следствий определения меры Лебега.
2.5. Трансфиииты не входят в обязательные курсы ТФДП, но могут пригодиться для студенческих спецкурсов и спецсеминаров. Мы уделили много внимания построению по индукции. Для трансфинитов оно, конечно, не сложнее, чем для натурального ряда. Но и для натурального ряда его редко проводят аккуратно.
3. Я пунктуально переписывал наиболее удачные места из следующих книг:
Ф. Хаусдорф. Теория множеств;
П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Введение в теорию множеств и функций;
П. С. Александров, Введение в общую теорию множеств и функций;
И. П. Натансон, Введение в теорию функций вещественной переменной;
А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, вследствие чего обязан их авторам более, чем это бывает обычно.
Я благодарен Ю. Б. Гермейеру, с которым мы научили друг друга ТФДП, решая задачи в коридорах университета. Значительное влияние на книгу оказали беседы по ТФДП с А. А. Ляпуновым, Н. К. Вари, Д. Е. Меньшовым и П. С. Новиковым. Рецензенту этой книги Л. В. Келдыш я благодарен за ряд замечаний, улучшавших изложение. Вместе с тем никто из перечисленных здесь лиц не обязан нести ответственности за изложение его мыслей, редакцию цитат и текст, который их окружает.
