ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

Глава I. Бесконечные множества

§ 1. Операции над множествами 7
§ 2. Взаимнооднозначное соответствие 10
§ 3. Счётные множества 12
§ 4. Мощность континуума 16
§ 5. Сравнение мощностей 22

Глава II. Точечные множества

§ 1. Предельная точка 29
§ 2. Замкнутые множества 32
§ 3. Внутренние точки и открытые множества . . 36
§ 4. Расстояния и отделимость 39
§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств 42
§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества 45

Глава III. Измеримые множества

§ 1. Мера ограниченного открытого множества 50
§ 2. Мера ограниченного замкнутого множества 55
§ 3. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества 59
§ 4. Измеримые множества 62
§ 5. Измеримость и мера как инварианты движения 66
§ 6. Класс измеримых множеств 70
§ 7. Общие замечания о проблеме меры 73
§ 8. Теорема Витали 75

Глава IV. Измеримые функции

§ 1. Определение и простейшие свойства измеримой функции 80
§ 2. Дальнейшие свойства измеримых функций 84
§ 3. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере 86
§ 4. Структура измеримых функций 91
§ 5. Теоремы Вейерштрасса 97

Глава V. Интеграл Лебега от ограниченной функции

§ 1. Определение интеграла Лебега 102
§ 2. Основные свойства интеграла 106
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла 112
§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега 114
§ 5. Восстановление первообразной функции 119

Глава VI. Суммируемые функции

§ 1. Интеграл неотрицательной измеримой функции 121
§ 2. Суммируемые функции любого знака 128
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла 134

Глава VII. Функции, суммируемые с квадратом

§ 1. Основные определения. Неравенства. Норма 145
§ 2. Сходимость в среднем 147
§ 3. Ортогональные системы 154
§ 4. Пространство /2 163
§ 5. Линейно-независимые системы 169
§ 6. Пространства 1р и 1р 173

Глава VIII. Функции с конечным изменением. Интеграл Стилтьеса

§ 1. Монотонные функции 179
§ 2. Отображение множеств. Дифференцирование монотонной функции .... 181
§ 3. Функции с конечным изменением 189
§ 4. Принцип выбора Хелли .... . 194
§ 5. Непрерывные функции с конечным изменением 197
§ 6. Интеграл Стилтьеса 201
§ 7. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса 206
§ 8. Линейные функционалы 209

Глава IX. Абсолютно-непрерывные функции. Неопределённей интеграл Лебега

§ 1. Абсолютно-непрерывные функции 213
§ 2. Дифференциальные свойства абсолютно-непрерывных функций 216
§ 3. Непрерывные отображения . . . 217
§ 4. Неопределённый интеграл Лебега 221
§ 5. Точки плотности. Аппроксимативная непрерывность 229
§ 6. Добавления к теории функций с конечным изменением и интегралов Стилтьеса . . 231
§ 7. Восстановление первообразной функции 234

Глава X. Сингулярные интегралы. Тригонометрические ряды

§ 1. Постановка вопроса 239
§ 2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке . . . 242
§ 3. Приложения в теории рядов Фурье 247
§ 4. Дальнейшие свойства тригонометрических рядов и рядов Фурье 254

Глава XI. Точечные множества в двумерном пространстве

§ 1. Замкнутые множества 262
§ 2. Открытые множества 264
§ 3. Теория измерения плоских множеств 266
§ 4. Измеримость и мера как инварианты движения 273
§ 5. Теорема Хаусдорфа 277
§ 6. Связь меры плоского множества с мерами его сечений . 284

Глава XII. Измеримые функции нескольких переменных и их интегриро¬вание

§ 1. Измеримые функции. Распространение непрерывных функций 288
§ 2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл 291
§ 3. Теорема Фубини 296
§ 4. Перемена порядка интегрирований 300

Глава XIII. Функции множества и их применения в теории интегрирования

§ 1. Абсолютно-непрерывные функции множества 303
§ 2. Неопределённый интеграл и его дифференцирование 308
§ 3. Обобщение полученных результатов . . . ; 310

Глава XIV. Трансфинитные числа

§ 1. Упорядоченные множества. Порядковые типы 314
§ 2. Вполне упорядоченные множества 318
§ 3. Порядковые числа 321
§ 4. Трансфинитная индукция 323
§ 5. Второй числовой класс - —
§ 6. Алефы 326
§ 7. Аксиома и теорема Цермело 328

Глава XV. Классификация Бэра

§ 1. Классы Бэра 332
§ 2. Непустота классов Вера 336
§ 3. Функции 1-го класса 341
§ 4. Полунепрерывные функции . 350

Глава XVI. Некоторые сведения из функционального анализа

§ 1. Метрические и, в частности, линейные нормированные пространства . . . 358
§ 2. Компактность 364
§ 3. Условия компактности в некоторых пространствах 368
§ 4. Банаховский „принцип неподвижной точки" и некоторые его приложения 382

Глава XVII. Роль русских и советских ученых в развитии теории функций вещественной переменной

§ 1. Дескриптивная теория функций 391
§ 2. Теория измеримых функций. Дифференцирование и интегрирование . . . 393
§ 3. Тригонометрические ряды 394
§ 4. Теория ортогональных функций 396
§ 5. Другие работы по метрической теории функций 397
§ 6. Функциональный анализ 398