ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
Глава 1. Элементы теории полей 9
1. Предварительные замечания 9
2. Некоторые важные типы расширений 10
3. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраических расширений 13
4. Алгебраичность конечных расширений 15
5. Строение составных алгебраических расширений .... 16
6. Составные конечные расширения 18
7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым 21
8. Поле алгебраических чисел 23
9. Композит полей 24
Глава 2. Необходимые сведения из теории групп ... 26
1. Определение группы 26
2. Порядки элементов 28
3. Подгруппы, нормальные делители и факторгруппы ... 30
4. Гомоморфные отображения 34
Глава 3. Теория Галуа 38
1. Нормальные расширения 38
2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа . 42
3. Порядок группы Галуа 45
4. Соответствие Галуа . . 49
5. Теорема о сопряженных элементах 52
6. Группа Галуа нормального подполя 54
7. Группа Галуа композита двух полей 55
II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
Глава 1. Дополнительные сведения из общей теории групп 57
1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах 57
2. Нормальные ряды 58
3. Циклические группы 62
4. Разрешимые и абелевы группы 67
5. Группы 2.'п и Мп . 70
Глава 2. Уравнения, разрешимые в радикалах 74
1. Простые радикальные расширения 74
2. Циклические расширения 77
3. Радикальные расширения 82
4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа .... 86
5. Уравнения, разрешимые в радикалах 89
Глава 3. Построение уравнений, неразрешимых в радикалах 91
1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок .... 91
2. Разложение подстановок в произведение циклов .... 94
3. Четные подстановки. Знакопеременная группа 97
4. Строение знакопеременной и симметрической групп . . 100
5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа . . 105
6. Обсуждение полученных результатов 109
Глава 4. Неразрешимость в радикалах общего уравнения степени 112
1. Поле формальных степенных рядов 112
2. Поле дробностепенных рядов 118
3. Группа Галуа общего уравнения степени п 122
4. Решение уравнений низших степеней 126
III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
Глава 1. Практическое вычисление групп Галуа уравнений 131
1. Задание групп подстановок степени п многочленами от n неизвестных 131
2. Сопряженные группы подстановок 134
3. Вычисление группы Галуа произвольного многочлена . . 136
4. Пример: уравнения, группы Галуа которых содержатся в знакопеременной группе 140
5. Уравнения третьей и четвертой степени 141
Глава 2. Уравнения пятой степени 144
1. Транзитивные группы подстановок . 144
2. Транзитивные группы простой степени 145
3. Транзитивные группы пятой степени 146
4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения пятой степени 149
5. Определяющий многочлен для метациклической группы 151
6. Случай уравнений в нормальном виде 153
7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах 155
8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному виду 157
Глава 3. Решение уравнений в неприводимых радикалах 160
1. Формулировка основной теоремы 160
2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям . 161
3. Доказательство теоремы А 163
4. Мультипликативная группа классов по примарному модулю 164
5. Группы Галуа примарных круговых расширений .... 168
6. Доказательство теоремы В 171
Глава 4. Уравнения деления круга 174
1. Строение полей деления круга простого показателя . . 174
2. Решение уравнений деления круга 177
3. Прием Гаусса 178
4. Уравнение деления круга на 17 частей 181
Глава 5. Построения циркулем и линейкой 185
1. Основная теорема теории геометрических построений . 185
2. Примарные группы 194
3. Пифагоровы расширения 197
4. Некоторые конкретные задачи на построение 199
Задача об удвоении куба (199).
Задача о трисекции угла (200).
Задача о трех биссектрисах (201).
Задача о построении правильното n-угольника. (202).
Задача о квадратуре круга (205).
Задача о луночках Гиппократа (211).
ПРЕДИСЛОВЕЕ
Эта книга представляет собой переработанный и значительно расширенный вариант книги автора «Основы теории Галуа», выпущенной в свет Физматгизом в 1960 г. При переработке автор стремился сохранить элементарный характер книги, так что от читателя по-прежнему требуется владение лишь основами высшей алгебры в объеме действующей программы первого курса университетов. К сожалению, автор был лишен возможности пополнить книгу упражнениями. Как и в «Основах теории Галуа», задачи, включенные в текст книги, совершенно тривиальны и предназначены исключительно для самоконтроля читателя.
Теория Галуа по-прежнему излагается для полей, принадлежащих некоторому единому «универсальному», алгебраически замкнутому полю характеристики 0 (для определенности — полю комплексных чисел). Это позволяет избежать трудной для начинающего абстрактной теоремы о существовании и единственности (с точностью до изоморфизма) поля разложения данного многочлена. С другой стороны, при таком изложении фактической потери общности не происходит, поскольку любое поле можно, как известно, включить в алгебраически замкнутое.
При первоначальном изучении теории Галуа серьезные трудности часто возникают также в связи с теоремой о продолжении изоморфизма. Поэтому в этой книге теорема о продолжении изоморфизма во всех случаях заменяется, быть может, более кустарными, но зато значительно более доступными соображениями теории симметрических функций.
Теория групп излагается здесь лишь постольку, поскольку это необходимо для теории Галуа и ее применения. Отдельные сведения из теории групп вкраплены в текст в тех местах, где они необходимы. Никакого целостного и более или менее исчерпывающего изложения даже отдельных глав теории групп в книге не дается. Однако затронутые вопросы теории групп разобраны со всей тщательностью, иногда даже подробнее, чем это обычно принято.
При изложении теории подстановок подробно доказывается теорема о разложении подстановок в произведение независимых циклов, а понятие четности подстановки вводится на основе рассмотрения разложения подстановки в произведение транспозиций. Простота знакопеременной группы доказывается по Редей.
Задача о решении уравнений в радикалах сначала ставится и решается для произвольных (быть может, приводимых) радикалов. В частности, уравнения деления круга по определению считаются разрешимыми в радикалах. Классическая постановка задачи (о решении уравнений в неприводимых радикалах) рассматривается отдельно и значительно позже. Читатель, желающий познакомиться лишь с основными идеями, на которых основывается применение теории Галуа к задаче о решении уравнений в радикалах, может, таким образом, не вникать в достаточной мере в сложную теорию круговых расширений.
Так как полями коэффициентов общих (т. е. имеющих буквенные коэффициенты) уравнений являются поля рациональных функций, то для обоснования применимости к таким уравнениям результатов теории Галуа, доказанных в книге лишь для подполей универсального поля, нам приходится специально доказывать, что любое поле рациональных функций можно включить в универсальное, т. е. алгебраически замкнутое, поле (именно в поле дробностепенных рядов). Алгебраическую замкнутость поля дробностепенных рядов мы доказываем по Островскому с помощью леммы Гензеля. Это доказательство хотя и не эффективно, но значительно проще конструктивного доказательства, основанного на многоугольнике Ньютона и не раз излагавшегося на русском языке.
В книге большое внимание уделяется задаче практического вычисления групп Галуа уравнений. Эта задача подробно рассмотрена как в общем виде, так и в применении к уравнениям третьей, четвертой и пятой степени. Специальное внимание уделено уравнениям пятой степени. В частности, полностью описаны все уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах.
Много места уделено также применениям теории Галуа к теории геометрических построений. Хотя основная теорема теории геометрических построений циркулем и линейкой не относится, строго говоря, к теории Галуа, однако мы ее здесь доказываем, обращая особенное внимание на алгебраические тонкости доказательства, обычно оставляемые в тени.
Наряду с общими результатами теории геометрических построений в последней главе книги рассмотрены также и некоторые конкретные построения, и притом не только классические (как задача о трисекции угла и т. п.), но и более свежие (задача о луночках Гиппократа). При рассмотрении задачи о квадратуре круга детально доказана трансцендентность числа тс.
Для ссылок на материал первого курса использована книга А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры», в дальнейшем именуемая «Курс». При этом страницы указываются по шестому изданию.
В заключение автор хочет горячо поблагодарить С. С. Рышкова и В. Г. Болтянского, прочитавших книгу в рукописи и сделавших много ценных замечаний.
Автор
