Книга, как видно из ее названия, посвящена физическим приложениям теории групп. В основе книги лежат лекции, прочитанные автором, американским физиком Мортоном Хамермешем, для сотрудников одного из крупных научных центров США — Аргоннской национальной лаборатории.
Автор последовательно и ясно изложил основы теории групп и ее важнейший для приложений раздел — теорию представлений. Подробно рассмотрены применения теории групп к многочисленным физическим задачам (симметрия кристаллов и молекул, магнитная симметрия, атомные спектры, физика ядра и элементарных частиц и др.). Вводимые понятия и представления и получаемые результаты иллюстрируются многочисленными примерами, даются интересные задачи и упражнения.
Книга рассчитана прежде всего на студентов и аспирантов, специализирующихся в различных областях теоретической физики; она будет полезной также для научных работников — физиков и химиков, желающих овладеть теорией групп. Наконец, книга привлечет внимание и математиков, интересующихся физическими приложениями теории групп.
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие автора 7
Введение 9
Глава 1. Элементы теории групп 13
§ 1. Соответствия и преобразования 13
§ 2. Группы. Определения и примеры 19
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли 28
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа 35
§ 5. Классы сопряженных элементов 38
§ 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа. Гомоморфизм 44
§ 7. Прямые произведения 47
Глава 2. Группы симметрии 49
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры 49
§ 2. Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси . . 56
§ 3. Группы, элементами которых служат чистые повороты: группы поворотов вокруг оси, группы диэдров 60
§ 4. Закон рациональных индексов 65
§ 5. Группы, элементами которых служат чистые повороты. Правильные многогранники 68
§ 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты. Присоединение отражений к группе 6п 72
§ 7. Присоединение отражений к группам 0„ 77
§ 8. Полные группы симметрии правильных многогранников 81
§ 9. Обзор точечных групп. Другие системы обозначений . . 83
§ 10. Группы магнитной симметрии (цветные группы) .... 86
Глава 3. Представления групп 91
§ 1. Линейные векторные пространства 91
§ 2. Линейная зависимость; размерность 93
§ 3. Базисные векторы (оси координат); координаты .... 95
§ 4. Отображения; линейные операторы; матричные представления; эквивалентность 98
§ 5. Представления групп 101
§ 6. Эквивалентные представления; характеры 102
§ 7. Построение представлений. Сложение представлений . . 104
§ 8. Инвариантность функций и операторов. Классификация собственных функций 110
§ 9. Унитарные пространства; скалярное произведение; унитарные матрицы; эрмитовы матрицы 113
§ 10. Операторы: сопряженный, самосопряженный, унитарный 116
§ 11. Унитарные представления 117
§ 12. Гильбертово пространство 118
§ 13. Разложение представлений; приводимость; неприводимые представления 119
§ 14. Леммы Шура 124
§ 15. Соотношения ортогональности 127
§ 16. Критерии неприводимости. Разложение представлений . 130
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра 133
§ 18. Разложение функций по базисным функциям неприводимых представлений 138
§ 19. Представления прямых произведений 141
Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии 142
§ 1. Абелевы группы 142
§ 2. Неабелевы группы 147
§ 3. Таблицы характеров для кристаллографических точечных групп 154
Глава 5. Различные операции с представлениями групп 157
§ 1. Произведение представлений (кронекеровское произведение) 157
§ 2. Симметризованные и антисимметризованные произведения 161
§ 3. Сопряженное представление. Комплексно сопряженное представление 163
§ 4. Условия существования инвариантов 165
§ 5. Вещественные представления 167
§ 6. Разложение кронекеровского произведения. Ряд Клебша — Гордана 176
§ 7. Коэффициенты Клебша — Гордана 178
§ 8. Просто приводимые группы 180
§ 9. ЗУ-символы 186
Глава 6. Физические приложения 191
§ 1. Классификация уровней энергии 191
§ 2. Теория возмущений 193
§ 3. Правила отбора 197
§ 4. Связанные системы 212
Глава 7. Симметрическая группа 217
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы . 217
§ 2. Формула Фробениуса для характеров симметрической группы 225
§ 3. Графические методы. Решеточные перестановки. Схемы Юнга. Таблицы Юнга 236
§ 4. Графический метод нахождения характеров 240
§ 5. Рекуррентные формулы для характеров. Правила ветвления 249
§ 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса .... 253
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы Символы Яманучи 257
§ 8. Метод Хунда 274
§ 9. Групповая алгебра 283
§ 10. Операторы Юнга 288
§ 11. Построение произведения волновых функций с заданной симметрией. Условия циклической симметрии Фока . . 293
§ 12. Внешние произведения представлений симметрической группы 297
§ 13. Внутренние произведения. Ряд Клебша — Гордана для симметрической группы 303
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы. Свойства симметрии. Рекуррентные формулы . 308
Глава 8. Непрерывные группы 327
§ 1. Краткий обзор результатов, полученных для конечных групп 327
§ 2. Бесконечные дискретные группы 329
§ 3. Непрерывные группы. Группы Ли 332
§ 4. Примеры групп Ли 337
§ 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы 341
§ 6. Однопараметрические группы. Инфинитезимальные преобразования 344
§ 7. Структурные константы 350
§ 8. Алгебры Ли 352
§ 9. Структура алгебр Ли 356
§ 10. Структура компактных полупростых групп Ли и их алгебр 362
§ 11. Линейные представления групп Ли 365
§ 12. Инвариантное интегрирование 867
§ 13. Неприводимые представления групп Ли и алгебр Ли. Оператор Казимира 371
§ 14. Многозначные представления. Универсальная накрывающая группа 37,4
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия 377
§ 1. Группа вращений в двумерном пространстве 377
§ 2. Трехмерная группа вращений 381
§ 3. Непрерывные однозначные представления трехмерной группы вращений 390
§ 4. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов (однозначные представления) 395
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов с различной симметрией 402
§ 6. Двузначные представления группы вращений. Двумерная унитарная унимодулярная группа 410
§ 7. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов. Двузначные представления кристаллографических точечных групп 420
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения. Коэффициенты Клебша — Гордана 434
Глава 10. Линейные группы в и-мерном пространстве; неприводимые тензоры 443
§ 1. Тензоры, преобразующиеся по группе О А (я) 443
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров, преобразующихся по группе ОЬ (л) 445
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы ОЬ (я) 451
§ 4. Неприводимые представления подгрупп группы ОЬ (л): ЗЬ (л), и (л), 5(7 (л) 450
§ 5. Ортогональная группа в я-измерениях. Свертка. Тензоры с нулевым следом 461
§ 6. Неприводимые представления группы О (я) 464
§ 7. Разложение неприводимых представлений группы (7 (л) на представления группы 0+ (л) 470
§ 8. Симплектическая группа 8р (л). Свертка. Тензоры с нулевым следом 475
§ 9. Неприводимые представления группы Зр (л). Разложение неприводимых представлений группы (7 (л) на представления ее симплектической подгруппы 481
Глава 11. Применение теории групп к задачам атомной и ядерной физики 485
§ 1. Классификация состояний систем тождественных частиц по группе 811 (л) 485
§ 2. Разложение момента количества движения. Разложение представлений группы 3(7 (я) на представления группы О4" (3) 486
§ 3. Принцип Паули. Атомные спектры в схеме связи Рассела — Саундерса 495
§ 4. Старшинство в атомных спектрах 498
§ 5. Атомные спектры в схеме //-связи 505
§ 6. Структура ядра. Изотопический спин 509
§ 7. Ядерные спектры в схеме Ь — 5-связи. Супермультиплеты 512
§ 8. Модель оболочек в схеме Ь — 5-связи. Старшинство . . 520
§ 9. Модель оболочек в схеме //-связи. Старшинство в схеме связи 525
Глава 12. Проективные представления. Малые группы 537
§ 1. Проективные представления конечных групп 537
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп . 543
§ 3. Проективные представления групп Ли 549
§ 4. Проективные представления псевдо-ортогональных групп 559
§ 5. Проективные представления галилеевой группы .... 566
§ 6. Неприводимые представления группы параллельных переносов 569
§ 7. Малые группы . 571
Литература 579
