Теория интерполирования и приближения функций

КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Теория интерполирования и приближения функций была и остается одной из основных линий развития современного математического анализа и вместе с тем поприщем, на котором особенно ярко обнаруживаются успехи отечественного, русского и советского, конструктивного математи­ческого творчества.

Два десятилетия и огромные вклады, сделанные за это время в данной области преимущественно отечественными математиками, не устранили потребности в такой книге, предназначенной для широкого круга чита­телей, которая могла бы, не утомляя чрезмерной детализацией и все же уделяя достаточное внимание принципиальным моментам, служить вве­дением в отрасль научного знания, продолжающую особенно интенсивно развиваться и в наши дни. В процессе дальнейшего движения возникли новые задачи и пущены в ход новые аналитические средства. Не имея возможности дать сколько-нибудь полную картину открывающихся пер­спектив (для этого пришлось бы написать еще одну книгу), автор, решаясь на переиздание своей давнишней работы, сознательно ограничивает себя постановками вопросов в их классических рамках (конечный промежуток, приближающие функции в виде конечных же сумм—алгебраических и тригонометрических полиномов). С этой оговоркой учтены и вновь полу­ченные результаты. Автор счел полезным ради сообщения наглядных «функционально-аналитических» представлений и употребительной функ­циональной терминологии дать Дополнение, содержащее набросок обоб­щающей теории¹).

Помимо того, в книгу внесены некоторые структурные изменения: в частности, выделена глава V, содержащая задачи интерполирования и приближения функций в комплексной области; это не значит, однако, что автор поставил целью избежать применения аппарата теории функ­ций комплексного переменного в предшествующих главах I—IV.

Свидетельствую свою благодарность моему учителю, акад. С. Н. Берн-штейну за аппробацию некоторых намерений, а также ряду лиц (в осо­бенности проф. Я. С. Безиковичу) за сообщение замечаний, касающихся первого издания книги. Искренне признателен В. С. Виденскому за по­мощь при редактировании.

Москва, август 1954 г.                                                                                       В. Гончаров

*) В конспективной форме относящийся сюда материал был воспроизведен в моей статье в сборнике «Научное наследие П. Л. Чебышева», т. 1, 1945 г.

ОТ АВТОРА

В математической литературе нет книги, которая имела бы прямой задачей дать связное изложение различных теорий приближенного пред­ставления данной непрерывной функции посредством более или менее простых (полиномиального вида) аналитических выражений. Потребность в такой книге представляется значительной, если принять во внимание в особенности ту роль, которую приближение функций уже давно играет в самой теории функций. Этот пробел я пытаюсь восполнить.

Чтобы охарактеризовать общее содержание «Теории интерполирова­ния и приближения функций», достаточно назвать три имени Первое из них—имя Карла Вейерштрасса, основателя теории функций, который дал важнейшую теорему, в известном смысле порождающую само понятие непрерывной функции. Второе—имя Пафнутия Львовича Чебышева, который выработал оригинальные методы наилучшего приближения функ­ций. Третье—имя Сергея Натановича Бернштейна, который привел во взаимное соприкосновение два различных круга мысли, осуществляя та­ким образом их взаимное проникновение.

Обилие материала и его (если можно так выразиться) сложный ситус чрезвычайно затрудняли распланировку изложения. Мною руководило стремление к широкому охвату и установлению общих объединяющих схем, а также намерение следовать в порядке изложения естественному (как мне казалось) развитию мысли читателя. В общем же пусть будет прощена автору некоторая субъективность как в выборе тем, так и в их расположении. Об исчерпывающем изложении не могло быть и речи. Оставлены в стороне также и многие вопросы, органически и исторически тесно связанные с основным предметом книги, но в сущности относящиеся уже к областям более далеким: к теории конечных разностей, уравнениям математической физики, приближенной теории конформных отображений, вариационному исчислению и т. д.

Со стороны читателя предполагается общее владение математическим анализом в объеме 2—3 курсов университета, включая теорию функций комплексного переменного.

Вступительная глава .после общей постановки проблемы сообщает конспективно ряд предварительных сведений и справок, необходимых для дальнейшего. Познакомившись с ее содержанием, читатель будет воз­вращаться к ней по мере надобности.

Первая глава посвящена интерполированию в узком смысле, т. е. тако­го рода приближению функций, когда от приближающей функции тре­буется точное совпадение с приближаемой в ряде дискретных точек.

Во второй главе устанавливается возможность равномерного прибли­жения непрерывной функции, при котором разность между приближа­ющей и приближаемой функцией во всех точках рассматриваемой области не превосходит по абсолютному значению наперед заданной величины (теорема Вейерштрасса).

Третья глава содержит теорию практически наиболее удобных при­ближений—квадратических (иначе говоря, приближений по способу наименьших квадратов).

Квадратические методы, как. впрочем, и интерполяции, связаны с ре­шением линейных уравнений, и этим обусловливается то, как глубоко развита их теория и обширны и разнообразны их применения.

Наконец, в четвертой главе рассмотрены средние степенные прибли­жения, как обобщение квадратических, и в известном смысле предельный их случай—наилучшие приближения Чебышева. Эти приближения уже не носят линейного характера, а потому вычисление пх связано с боль шими трудностями. Однако исследование приближений Чебышева, в осо­бенности результаты С. Н. Бернштейна, показывают пх центральную роль в теории функций и связь их с приближениями иных типов.

Таков план книги.

Поскольку мною не ставилась цель дать руководство к практиче­ским вычислениям, довольно многочисленные примеры служат преиму­щественно для разъяснения и уточнения основного текста.

1934 г.