ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Хорошо известно, что в науку нет царской дороги, но книги, вводящие в предмет, могут быть хорошими и плохими. Перед читателем лежит безусловно хорошая книга. Даже больше — книга, написанная с вдохновением. Только поэтому авторы с видимой легкостью сумели справиться сразу с несколькими задачами, каждая из которых могла бы потребовать отдельной книги.
В первых главах они демонстрируют, каким должно быть современное геометризированное преподавание анализа, и эти главы хочется рекомендовать всем тем, кто думает сейчас о проблемах преподавания математики. В последующих главах первой половины книги дается мастерское изложение математических основ теории особенностей гладких функций. Его с пользой для себя прочтут и новички и специалисты. Вторая половина книги посвящена приложениям — это блестящий пример научно-популярной литературы для ученых. (Предшествующие статьи апологета теории катастроф английского математика Э. К. Зимана относятся скорее к жанру научно-фантастической литературы для ученых.) Авторы сопровождают изложение многочисленными остроумными и серьезными замечаниями о характере прикладной математики вообще, которые звучат очень злободневно. Наконец, полемическая цель книги — защита нового направления от ожесточенной прямой и скрытой критики, а также от примитивного понимания — достигается ими с большим тактом и максимальной научной добросовестностью.
В элементарной теории катастроф, которой посвящена книга, рассматривается (в получившей широкое распространение схеме) следующая ситуация. Имеется физическая система, быстро минимизирующая потенциал, который меняется в зависимости от внешних или управляющих параметров (минимизация локальная); некоторые локальные минимумы при изменении параметров могут „исчезать". Скачки, наблюдающиеся при таких исчезновениях, и дали повод для названия теории. При этом большой простор получает геометрическая интуиция, подкрепленная разнообразными картинками, которые можно рисовать, когда число параметров не превосходит трех,— главным образом это множества тех значений параметров, при которых происходят скачки (если параметров больше, можно рисовать сечения).
В дополнение к этому геометрическому подходу авторы подчеркивают аналитический подход, строя свое изложение основ теории как естественное развитие классического анализа в его собственных рамках, связанное с поиском ответа на два вопроса. Во-первых, какие многочлены Тейлора определяют функцию с точностью до дифференцируемой замены координат? Во-вторых, если многочлен обладает таким свойством, то сколько нужно взять параметров его локальной „деформации" (и как ее построить), чтобы любое конеч номерное семейство гладких функций, содержащее этот многочлен, могло быть получено из этой „универсальной" деформации с помощью надлежащей локальной замены координат? Оказалось, что при числе параметров, меньшем пяти, удается построить небольшой список многочленов („семь катастроф Тома"), к которым приводится локальными заменами в окрестности начала „почти любая" фу нкция со своими деформациями. Этот список независимо был получен В. И. Арнольдом, который развил его теперь в широкую классификацию.
Благодаря энергичным и настойчивым усилиям французского тополога Ренэ Тома оба указанных подхода слились в изящной и нетривиальной математике, развитой многими математиками, в первую очередь Мальгранжем, Мезером, Арнольдом, причем в работах последнего установлены глубокие связи теории с другими областями математики. Авторы делают необходимые исторические замечания, но, может быть, нелишне будет упомянуть уже здесь, что основные идеи, сплавом которых оказалась теория катастроф, берут начало в работах X. Уитни по каноническим формам особенностей гладких отображений и в работах школы А. А. Андронова, где изучались степени негрубости (т. е. коразмерности) динамической системы, что понятие универсальной деформации появилось в алгебраической геометрии (А. Гротендик) и что вся теория в сущности — далеко продвинутая глава общей теории динамических систем, которой интенсивно занимаются в последние десятилетия.
Для самого Тома теория катастроф, как она представлена в этой книге, является лишь случайным продуктом развития математики. Том поставил задачу создания на основе общей теории динамических систем языка форм, пригодного для математизации биологии, а за ней и других областей науки, традиционно далеких от математики. Понять туманно-философские высказывания Тома довольно трудно, но примерно речь идет о построении динамических систем с иерархической организацией, обеспечивающей устойчивость, взаимодействие со средой и эволюцию. Если бы удалось построить конечное число (или обозримый бесконечный набор) таких „элементарных" систем, из которых можно было бы по определенным законам строить более сложные системы и описывать переходы между ними („катастрофы"), то был бы создан мощный метод анализа самых разнообразных явлений природы (развитие эмбриона, человеческий язык, форма облаков и пр.). К сожалению, математика динамических систем оказалась, по-видимому, слишком сложной для реализации этой идеи... От грандиозного замысла осталась элементарная теория катастроф — та, о которой идет речь в этой книге и героическую попытку приложить которую в биологии и социальных науках в духе Тома предпринял Э. К. Зиман (ему книга посвящена).
Следует указать, что программа Тома, как и математическое развитие теории семинаром Арнольда, полностью оказались за рамками книги. Авторы сосредотачивают свое внимание в основном на приложениях к физике, откуда они с большой легкостью извлекают сборки и складки, бабочки и омбилики, без устали подчеркивая естественность и неизбежность их появления, вытекающие из универсального характера катастроф из списка Тома. (Ряд приводимых примеров появился независимо от теории катастроф, особенно в теории упругости, где самостоятельно возникли также и некоторые ключевые понятия.) Многие примеры выходят за пределы упомянутой вначале схемы „градиентных систем, зависящих от параметра", что демонстрирует широкую применимость теории. Здесь можно было бы упомянуть еще, что Ф. Такенс начал изучать с точки зрения теории катастроф вырожденные задачи вариационного исчисления. Но авторы не устают подчеркивать и существование границ применимости теории.
Авторам удалось собрать огромный материал, полученный в самое последнее время и в значительной своей части еще не опубликованный. К сожалению, неизбежная при таких обстоятельствах торопливость оставила свой след... В частности, оригинал содержал довольно много опечаток, которые исправлялись при переводе без оговорок. (Список некоторых из них был прислан авторами.)
К достоинствам книги, как с грустью должен заметить переводчик, относится и виртуозное использование авторами возможностей современного английского языка. Если в какой-то мере эту черту удалось отразить в переводе, то в этом большая заслуга издательского редактора В. И. Авербуха, которому переводчик искренне благодарен. Он должен также поблагодарить Г. С. Шапиро и А. А. Кор-сунского, которые помогли уточнить терминологию в отдельных главах.
А. Чернавский
***
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 9
ПРЕДИСЛОВИЕ 12
1 ИЗМЕНЕНИЯ ПОСТЕПЕННЫЕ И ВНЕЗАПНЫЕ 19
1 Катастрофы 19
2 Зиманова машина катастроф 21
3 Качалки 24
4 Теория катастроф 25
2 МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 28
1 Теоретико-множественные обозначения 29
2 Эвклидовы пространства 32
3 Линейные преобразования 35
4 Матрицы 38
5 Квадратичные формы 42
6 Кубические формы от двух переменных 46
7 Геометрия многочленов 53
3 МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ 57
1 Расстояние в эвклидовом пространстве 57
2 Производная как касательная 59
3 Горизонтали 63
4 Частные производные 64
5 Высшие производные 66
6 Ряд Тейлора 67
7 Усеченная алгебра 72
8 Теорема об обратной функции 73
9 Теорема о неявной функции 74
4 КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТЬ 76
1 Критические точки 77
2 Лемма Морса 79
3 Функции одной переменной 82
4 Функции нескольких переменных 85
5 Лемма расщепления 87
6 Структурная устойчивость 89
7 Многообразия 92
8 Трансверсальность 93
9 Трансверсальность и устойчивость 97
10 Понятие трансверсальности для отображений 100
11 Коразмерность 101
5 СНОВА МАШИНЫ 103
1 Машина Зимана 103
2 Каноническая катастрофа сборки 107
3 Динамика машины Зимана 113
4 Качалки 117
5 Постановка общей проблемы 120
6 СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 121
1 Эквивалентность семейств 121
2 Структурная устойчивость семейств 124
3 Физическая интерпретация структурной устойчивости 126
4 Лемма Морса и лемма расщепления для семейств 128
5 Геометрия катастроф 130
7 КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ТОМА 132
1 Функции и семейства функций 133
2 Однопараметрические семейства 134
3 Нетрансверсальность и симметрия 142
4 Двухпараметрические семейства 145
5 Трех-, четырех- и пятипараметрические семейства 150
6 Высшие катастрофы 157
7 Теорема Тома 161
8 КОНЕЧНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И ДЕФОРМАЦИИ 164
1 Конечная определенность и сильная конечная определенность 165
2 Пространства струй от одной переменной 167
3 Инфинитезимальные замены переменных 172
4 Более слабые условия конечной определенности 179
5 Преобразования, сдвигающие начало 182
6 Касание и трансверсальность 184
7 Коразмерность и деформации 189
8 Трансверсальность и универсальность 198
9 Сильная эквивалентюсть деформаций 201
10 Числа, ассоциированные с особенностями 203
11 Некоторые неравенства 205
12 Сводка результатов и вычислительных приемов 207
13 Примеры и вычисления 216
14 Необходимые замечания о терминологии 222
9 ГЕОМЕТРИЯ СЕМИ ПЕРВЫХ КАТАСТРОФ 225
1 Обьекты изучения 225
2 Катастрофа складки 227
3 Катастрофа сборки 228
4 Катастрофа ласточкина хвоста 230
5 Катастрофа бабочки 232
6 Эллиптическая омбилика 235
7 Гиперболическая омбилика 240
8 Параболическая омбилика 243
9 Линейчатые поверхности 248
10 ОСТОЙЧИВОСТЬ СУДОВ 251
СТАТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 251
1 Плавучесть 251
2 Равновесна 252
3 Остойчивость 252
4 Судно с вертикальными бортами 253
5 Геометрия кривой центров величины 255
6 Метацентры 256
ФОРМЫ СУДОВ 258
7 Эллиптическое судно 258
8 Прямоугольное судно 261
9 Трехмерный случай 266
10 Плавучие буровые платформы 270
11 Сравнение с общепринятым подходом 272
11 ГЕОМЕТРИЯ ЖИДКОСТИ 278
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ 278
1 Что мы описываем 278
2 Функции тока 280
3 Примеры течений 284
4 Завихренность 284
5 Методы комплексной переменной 286
УСТОЙЧИВОСТЬ И ЭКСПЕРИМЕНТ 288
6 Замены переменных 288
7 Эвристическая программа 290
8 Экспериментальное воплощение 291
РАСЧЕСЫВАНИЕ ПОЛИМЕРНЫХ МОЛЕКУЛ 294
9 Неньютоново поведение 294
10 Растягивающие течения 296
ВЫРОЖДЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ 299
11 Шесгивалковая мельница 299
12 Нелокальное бифуркационное множество для эллиптической омбилики 305
13 Шестивалковая мельница в растворе полимера 303
14 2 га-валковая мельница 312
12 ОПТИКА И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 314
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА 315
1 Каустики 315
2 Радуга 321
3 Вариационные принципы 323
4 Рассеяние 325
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА 329
5 Асимптотические решения волновых уравнений 329
6 Быстро осциллирующие интегралы 331
7 Универсальные деформации 334
8 Порядки каустик 336
ПРИЛОЖЕНИЯ 339
9 Рассеяние на кристаллической решетке 339
10 Другие каустики 344
11 Миражи 346
12 Звуковые удары 348
13 Гигантские океанские волны 355
13 УПРУГИЕ КОНСТРУКЦИИ 359ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 361
1 Тела под нагрузкой 361
2 Состояния упругого равновесия 364
3 Новые моменты, связанные с бесконечномерностью 366
ЭЙЛЕРОВЫ СТЕРЖНИ 368
4 Конечно-элементный подход 368
5 Классический (1744 г.) вариационный подход 370
6 Анализ возмущений 376
7 Современный функциональный анализ 373
8 Выпучивание пружины 383
9 Предварительно выпученный стержень 389
ГЕОМЕТРИЯ ПРОЩЕЛКИВАНИЯ 391
10 Чувствительность к несовершенству 391
11 (г, «)-устойчивость 395
12 Оптимизация 399
13 Симметрия; стержни и оболочки 400
ВЫПУЧИВАНИЕ ПЛАСТИН 404
14 Уравнения Кармана 404
15 Деформация двойного собственного значения 408
ДИНАМИКА 413
16 Мягкие моды 413
17 Жесткость 414
14 ТЕРМОДИНАМИКА И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 416
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ 417
1 Уравнение ван дер Ваальса 417
2 Ферромагнетизм 420
ТЕРМОДИНАМ-ИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 422
3 Энтропия 422
4 Трансформации принципа максимума энтропии 424
5 Преобразование Лежандра 425
6 Явные потенциалы 427
7 Теория Ландау 430
ФЛЮКТУАЦИИ И КРИТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ 433
8 Классические показатели 433
9 Топологические попытки починить теорию 435
10 Роль флюктуации 436
11 Пространственные вариации 439
12 Статистические суммы 440
13 Группа перенормировок 443
14 Структурная устойчивость рекормализации 444
РОЛЬ СИММЕТРИИ 446
15 Четные функции 446
16 Формы вращающихся звезд 447
17 Нарушения симметрии 448
18 Трикритические точки 450
19 Симметрии кристаллов 452
20 Особенности спектров 453
15 ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА 454
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 455
1 Атомы 455
2 Поле 458
3 Взаимодействие 459
4 Измерения 460
КАТАСТРОФЫ ЛАЗЕРА 462
5 Деформация гамильтониана 462
6 Уравнения движения 463
7 Приближение среднего поля 465
8 Граничные условия 467
9 Многообразие неравновесных стационарных состояний 468
ЭКСПЕРИМЕНТЫ 469
10 Лазерный переход 470
11 Оптическая бистабильность 470
12 Распределение фотоответов 472
АНАЛИТИЧЕСКОЕ СООТВЕТСТВИЕ 476
13 Равновесные граничные условия 477
14 Многообразие равновесия 478
15 Термодинамический фазовый переход 478
16 Критическое поведение 479
17 Аналитическое соответствие между экспериментами 479
18 Перспективы 481
16 БИОЛОГИЯ И ЭКОЛОГИЯ 482
РАЗМЕРЫ СООБЩЕСТВ ПЧЕЛ 483
1 Пчелиная экономика 483
2 Преимущества объединения 484
3 Геометрия катастрофы 485
4 Пространственные вариации 487
5 Усложнения 488
КАТАСТРОФЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 488
6 Граничные эффекты 488
7 Классификация 490
ДВИЖУЩИЕСЯ ВОЛНЫ В ЭКОЛОГИИ 494
8 Выбор соглашений и модели 494
9 Границы 495
10 Численная проверка 498
11 Как стабилизируются границы 501
12 Как начинается дифференциация 502
ЭМБРИОЛОГИЯ 505
13 Диффзренцирозка клеток 505
14 Катастрофы переключения 509
17 ПРОБЛЕМЫ СОЦИОЛОГИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 514
1 Выбор переменных 514
2 Археология и внезапные изменения 518
3 Катастрофы как модели 519
4 Тюремные бунты 525
5 Бистабильность восприятия 527
6 Алкоголь и интроверты 529
7 За пределами элементарной теории катастроф 532
18 ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ. ЧТО ДАЛЬШЕ? 537
1 Нынешнее состояние 537
2 Будущее 540
ДОПОЛНЕНИЕ 1
Д. Р. ОЛСЕН, С. Р. КАРТЕР И Э. РОКВУД. ПРОГРАММА ДЛЯ ПРОВЕРКИ НА КОНЕЧНУЮ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И НАХОЖДЕНИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ 543
ДОПОЛНЕНИЕ 2
КАТАСТРОФЫ В ЧИСЛЕННОМ АНАЛИЗЕ 555
ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ЛИТЕРАТУРЕ 558
ЛИТЕРАТУРА ПО ТЕОРИИ КАТАСТРОФ 561
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕЕОДЕ 576
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 579
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 539
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 594
