Аннотация
Классическая монография, в которой впервые были изложены основополагающие идеи общей теории нелинейных колебаний. Конкретные проблемы рассматриваются под углом зрения общих положений, являются примерами и иллюстрациями применения общих методов.
Первое издание вышло в 1937 г.; данное издание повторяет его без изменений, лишь с исправлением опечаток и типографских погрешностей.
Рис. 375. Библ. 125 назв.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции 7
Предисловие Л. И. Мандельштама к первому изданию .... 10
От авторов 15
Введение 17
ГЛАВА I
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Линейная система без трения 37
§ 2. Понятие о фазовой плоскости, представление совокупности движении гармонического осциллятора на фазовой плоскости . . 40
1. Фазовая плоскость (40). 2. Уравнение, не содержащее времени (43). 3. Особые точки. Центр (43). 4. Изоклины (44). 5. Состояние равновесия и периодические движения (46).
§ 3. Устойчивость состояния равновесия 47
§ 4. Линейный осциллятор при наличии трения 50
1. Затухающий осцилляторный процесс (51). 2. Изображение затухающего осцилляторного процесса на фазовой плоскости (54). 3. Уравнения фазовых траекторий в полярных координатах (56). 4. Непосредственное исследование дифференциального уравнения (58). 5. Затухающий апериодический процесс (62). 6. Изображение апериодического процесса на фазовой плоскости (64).
§ 5. Вырожденная линейная система 70
1. Полное и «укороченное» уравнение (70). 2. Связь с начальными условиями (75). 3. Условия скачка (77). 4. Паразитные параметры (82).
§ 6. Лпнеипые системы с «отрицательным трением» 86
1. Механический пример (87). 2. Электрический пример (89). 3. Картина на фазовой плоскости (91). 4. Поведение системы при изменении обратной связи (95).
§ 7. Линейная система с отталкивающей силой 99
1. Картина на фазовой плоскости (100). 2. Электрическая модель (103).
ГЛАВА II
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
$ 1. Введение 110
§ 2. Простейшая консервативная система 112
§ 3. Исследование фазовой плоскости вблизи состояний равновесия 117
§ 4. Исследование характера движеппй на всей фазовой плоскости 127
§ 5. Зависимость поведения простейшей консервативной системы от параметра 132
1. Движение тяжелой точки по окружности, вращающейся вокруг вертикальной оси (137). 2. Движение тяжелой точки по параболе, вращающейся вокруг вертикальной оси (141). 3. Прямолинейное движение точки, отталкиваемой вблизи начала ноординат обратно пропорционально кубу расстояния и притягиваемой вдали от начала координат обратно пропорционально квадрату расстояния (144). 4. Движение проводника, обтекаемого током (145),
§ 6. Уравнения движения 150
1. Уравнения Гамильтона (151). 2. Интегральный инвариант (152). 3. Колебательный контур с железом (155). 4. Колебательный контур с сегне-товой солью в конденсаторе (158).
§ 7. Периодические движения в консервативных системах . . . 161
1. Общие свойства консервативных систем (164). 2. Консервативные системы и вариационный принцип (169). 3. Основные свойства консервативных систем (170). 4. Пример. Совместное существование двух видов (173).
ГЛАВА III
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Введение 177
§ 2. Диссипативные системы 177
§ 3. Постоянное трение 183
§ 4. Ламповый генератор в случае _г-характеристики 190
§ 5. Теория часов 204
1. Часы в случае линейного трения (206). 2. Часы в случае постоянного трения (208).
§ 6. Свойства простейших автоколебательных систем 221
§ 7. Предварительное рассмотрение автоколебаний, близких к синусоидальным 222
ГЛАВА IV
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. ОПИСЫВАЕМЫЕ ОДНИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Введение 232:
§ 2. Теорема существования и единственности 233
§ 3. Теорема о непрерывной зависимости решения' от печальных условий 237
§ 4. Качественный характер кривых на плоскости х, ( в зависимости от вида функции }(х) 238
§ 5. Представление движения на фазовой прямой 238
§ 6. Устойчивость состояний равновесия 242
§ 7. Зависимость характера движений от параметра 245>
1. Вольтова дуга в цепи с сопротивлением и самоиндукцией (246).
2. Однофазный асинхронный мотор (248).
§ 8. «Разрывные» движения 250
§ 9. Механические разрывные колебания 257
§ 10. Колебания в схеме с неоновой лампой 268
§ 11. Схемы с электронными лампами 277
§ 12. Вольтова дуга, включенная параллельно с емкостью . . . 283-
ГЛАВА V
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. ОПИСЫВАЕМЫЕ ДВУМЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Введение 288
§ 2. Теорема существования 289
1. Теорема существования (теорема Коши) (290). 2. Теорема о непрерывной зависимости решений от начальных значений (291).
§ 3. Линейные системы общего типа 292
§ 4. Пример — «универсальная схема» 300
§ 5. Состояния равновеспя. Устойчивость состояний равповесия 304
1. Случай действительных корней характеристического уравнения (306).
2. Случай комплексных корней характеристического уравнения (310).
§ 6. Пример — состояния равновесия в цепи вольтовой дуги . . . 312
§ 7. Периодические движения и их устойчивость 319
§ 8. Предельные циклы и автоколебания 326
§ 9. Общая теория поведения траекторий на фазовой плоскости. Предельные траектории и их классификация 328
§ 10. «Особенные» и «грубые» системы. Характер возможных траекторий в грубых системах 341
§ 11. Индексы Пуапкаре 359
§ 12. Зависимость качественной картипы траекторий от параметра 365
§ 13. Системы без замкнутых траекторий 385
1. Ламповое реле (387). 2. Включение динамомашин и моторов (393).
§ 14. Исследование поведепия фазовых траекторий в удаленных частях плоскости 397
§ 15. Оценка месторасположения предельных циклов 405
§ 16. Приближенные методы интегрирования 410
§ 17. «Разрывные» колебания в системах с одпой степенью свободы, описываемых двумя уравнениями первого порядка .... 416
§ 18. Системы с двумя степенями свободы, описываемые двумя уравнениями первого порядка 431
1. Схема Фрюгауфа (432). 2. Схема Хеегнера (438). 3. Мультивибратор Абрагама — Блоха (440).
§ 19. Малые параметры и паразитные степени свободы .... 446
ГЛАВА VI
СИСТЕМЫ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
§ 1. Цилиндрическое фазовое пространство 463
§ 2. Консервативные системы, отображаемые на цнлпндре . . . 466
§ 3. Неконсервативпая система 471
ГЛАВА VII
КОЛИЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Метод Вандер-Поля 479
§ 2. Обоснование метода Ван-дер-Поля для процессов установления 488
§ 3. Применение метода Ван-дер-Поля 493
1. Ламповый генератор при мягком режиме (493). 2. Ламповый генератор при жестком режиме (497).
§ 4. Метод Пуапкаре 500
1. Идея метода Пуанкаре (502). 2. Метод Пуанкаре для систем, близких к линейным (504).
§ 5. Применение метода Пуанкаре 514
1. Ламповый генератор с мягким режимом (514). 2. Значение малого параметра р (516).
§ 6. Ламповый генератор в случае ломаных характеристик . . . 519
§ 7. Влияние сеточного тока па работу лампового генератора . . 523
§ 8. Теория бифуркаций в случае автоколебательной системы, близкой к линейной консервативной системе 526
§ 9. Применение теории бифуркаций к исследованию режимов лампового генератора 528
1. Мягкое возникновение колебаний (530). 2. Жесткое возникновение колебаний (532).
ГЛАВА VIII
СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ Д1ШАМПЧЕСКПХ СИСТЕМ 535
§ 1. Введение
§ 2. Случайные «скачки»
§ 3. Случайные начальные условия
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1. Электронная лампа
§ 2. Катодный осциллограф 563
Литература
