Апостол Обретенов (автор)
теория на вероятностите | за студенти по математика (етикети)
Твърда корица, среден формат | 308 стр. | 386 гр.
(неизползвана, здрава и чиста книга с леко захабен външен вид)
*
АНОТАЦИЯ
Учебникът съдържа основните понятия и твърдения от теорията на вероятностите на ниво и обем, застъпвани в лекциите по тази дисциплина във Факултета по математика и механика на Софийския университет.
Теорията е изградена на общоприетата база на буловата алгебра и аксиоматиката на Колмогоров. Наред с класическите въпроси са дадени и фундаменталните теореми за продължение на вероятност и за съществуване на колмогорово вероятностно пространство, както и теоремата на Радон — Никодим, осигуряваща съществуването на условна средна.
Учебникът е предназначен за студентите от Факултета по математика и механика на Софийския университет, но може да се използува и от студенти от други висши учебни заведения и за самообразование.
*
СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор 5
Означения и символи 7
ГЛАВА ПЪРВА. АЛГЕБРА НА СЪБИТИЯТА
1. Събития и действия с тях 9
2. Булова алгебра 12
ГЛАВА ВТОРА. ВЕРОЯТНОСТ
1. Дефиниция на вероятност. Свойства 19
2. Условна вероятност. Независимост 28
3. Пълна група от събития. Формула за пълната вероятност. Формула на Бейс 32
4. Произведение на вероятностни пространства 35
5. Биномна вероятност. Свойства и приближения 39
6. Интегрално приближение на Моавър — Лаплас 48
ГЛАВА ТРЕТА. СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ
1. Случайни величини. Функция.на разпределение 53
2. Средна стойност на случайна величина. Интегриране 67
3. Закон за нулата и единицата. Композиции 81
4. Пораждаща функция. Теорема за непрекъснатост 89
5. Разпределения в «-мерно пространство 95
6. Условни средни Ги' условни разпределения. Теорема на Радон — Никодим И5
7. Суми от независими случайни величини. Закон за големите числа 129
8. Уточнявания на закона за големите числа. Закон за повторния логаритъм 142
9. Характеристични функции 152
10. Положително определени функции. Теорема на Бохнер — Хинчин 167
ГЛАВА ЧЕТВЪРТА. ГРАНИЧНИ ТЕОРЕМИ
1. Централна гранична теорема 171
2. Оценки за скоростта на сходимост към нормалното разпределение 179
3. Безгранично делими разпределения 186
4. Гранични теореми за суми от независими случайни величини 193
5. Стабилни разпределения 200
6. Лаплас-стилтесова трансформация и вероятностното й тълкуване 204
ГЛАВА ПЕТА. СЛУЧАЙНИ ПРОЦЕСИ
1. Общи понятия 224
2. Марковски процеси. Дискретни марковски вериги 226
3. Разклоняващи се процеси 246
4. Мартингали 255
5. Стационарни случайни процеси 264
6. Процеси с независими нараствания 268
7. Процеси на възстановяване 276
8. Винеров процес. Дифузионни процеси 292
Указател на термините 303
Литература 305
***
ПРЕДГОВОР
Главното предназначение на настоящата книга е да послужи като учебно помагало при обучението на студентите от блок "А" и блок "В" към Факултета по математика и механика на Софийския университет "Климент Охридски". Едновременно с това се цели да се запълни донякъде и липсата от литература на български език по основните въпроси от теорията на вероятностите. Тези две главни цели определят и съдържанието на учебника.
Основната част от изложените въпроси са от лекциите, четени на студентите от Факултета по математика и механика от различни курсове и по различни учебни програми в продължение на повече от 10 години. При избора на материала трябваше да се решава трудната задача учебникът да може да се използува и за начален курс (блок "А"), и за напреднал (блок "В"). Поради това третирането на въпросите и тяхното изложение е градирано. Все пак не можеше да има паралелна двойнственост и базата на излагането на всички вероятностни твърдения е обща и такава, каквато трябва да бъде в един съвременен курс по теория на вероятностите. Това се вижда и от първите две глави, където са дадени основните вероятностни понятия и определения. Те заедно с гл. 3 (с изключение на някои въпроси) обхващат и главната част от въпросите за един начален курс. В непосредствена връзка с първите три глави при избора на въпросите от гл. 4 и 5 е взето пред вид обучението на студентите от IV и V курс (блок "В")— специализация "математическа статистика". Въпроси от гл. 5 могат да послужат като начало за спецкурс, като след това въз основа на тях се преминава към съответната монографична литература.
Някои от въпросите (например т. 6, гл. 4; т. 4, гл. 5), разгледани в настоящия учебник, са включени до голяма степен, защото те се използуват като основен вероятностен апарат във вероятностните дисциплини с приложен аспект ("теория на масовото обслужване", "теория на надеждността" и др.) и тези дисциплини понякога влизат като спецкурсове в учебната програма на студентите от Факултета по математика и механика. Освен това литература по такъв вид въпроси се търси много и от други специалисти (нематематици) и се чувствува отдавна липсата й на български език.
Начинаещият читател може да намери някои въпроси, които не са по силите му. Такива са важните и основни твърдения като теоремата за продължение на вероятностите (т. 1, гл. 2), фундаменталната теорема на Колмогоров (т. 5, гл. 3), теоремата на Радон — Никодим (т. 6, гл. 3), на коитоПге градят всички останали въпроси от теорията на вероятностите. Един курс по теория на вероятностите обаче, за да бъде издържан, трябва да съдържа тези въпроси.
Задачи за упражнения не са предвидени, защото отдавна е планиран сборник от задачи по теория на вероятностите. Тази липса досега се запълва с циклостилните упражнения, които се изготвят семестриално през време на обучението. Някои примери служат повече за илюстрация на теорията или за въвеждане към разглеждането на някой въпрос, отколкото за упражнения.
Надявам се, че учебникът ще даде своя принос както за обучението на студентите по математика, така и за математическата култура на интересуващите се от вероятностните методи, които намират все повече приложение в практическите изследвания.
Авторът
София, юли 1973 г.
