Учебник за студентите по математика и физика при Софийския държавен университет (1963 г.)
Никола Обрешков (автор)
Твърда корица, голям формат | 464 стр. | 605 гр.
(неизползвана антикварна книга в отлично състояние)
*
АНОТАЦИЯ
Учебникът съдържа материала по теория на вероятностите, който е застъпен в лекциите по тази дисциплина във Физико-математическия факултет на Софийския университет. В него се дава съвременното състояние на тази теория, като в изложението се има пред вид широкото й приложение в другите науки и в практиката. За пълнота на изложението се излагат и някои основни положения от теорията на множествата и от интеграла на Стилтес.
Учебникът е предназначен за студентите по математика и физика при Софийския държавен университет, но той ще бъде в помощ и на студентите от другите вузове у нас.
**
СЪДЪРЖАНИЕ
Глава I. Комбинаторка
§ 1. Пермутации 3
§ 2. Вариации 5
§ 3. Комбинации 6
§ 4. Съединения с повторение 7
§ 5. Биномна теорема 9
Глава II. Вероятност
§ 1. Събитие 10
§ 2. Класическо определение на понятието вероятност 14
§ 3. Статистическо определение на понятието вероятност . . 1 16
§ 4. Аксиоматично изграждане на теорията на вероятностите 17
Глава III. Изчисляване на вероятностите по непосредствено преброяване на благоприятните и възможните случаи 22
§ 1. Няколко прости примера от играта на карти и хвърляне на зарове ... 22
§ 2. Задачата за трите шкафа 24
§ 3. Задачи от теглене на топки от урни 24
§ 4. Проблеми от лотария 26
§ 5. Проблема на Моавър 27
§ 6. Примери от статистическата физика 30
Глава IV. Сложна вероятност 32
§ 1. Теория за умножаване не вероятности 32
§ 2. Няколко прости примера 34
§ 3. По-сложна задача за теглене на топки 36
§ 4. Вероятност за повторение на едно събитие при многократно изпитване . 38
§ 5. Вероятност за определен брой сбъдвания на едно събитие 39
§ 6. Някои коефициенти, характеризиращи връзката между две събития ... 42
Глава V. Понятие за математическа надежда и игри 46
§ 1. Математическа надежда 46
§ 2. Математическа надежда на броя на сбъдванията на едно събитие при многократно изпитване 48
§ 3. Няколко задачи 50
§ 4. Проблемата на Петербург 52
§ 5. Разораване на играчите 53
§ 6. Игри при неограничен капитал 57
§ 7. Игри при ограничен капитал. Проблема на Руше 59
Глава VI. Вероятност на събития, свързани с дадена система от събития . 65
§ 1. Вероятност да се сбъднат няколко събития от дадена система събития . . 65
§ 2. Някои формули 68
§ 3. Приложения 69
§ 4. Неравенства на Бонферони 74
Глава VII. Гранични формули на Лаплас и Поасон 75
§ 1. Поставяне на проблемата 75
§ 2. Формула на Стирлинг 76
§ 3. Асимптотична формула за най-голямата вероятност 80
§ 4. Формула на Лаплас 80
§ 5. Теорема на Бернули 89
§ 6. Нормален закон 90
§ 7. Средна стойност на отклонението и неговите степени 91
§ 8. Закон за вероятностите на суми от отклонения 93
§ 9. Някои примери 94
§ 10. Формули на Поасон 95
§ 11. Приближение на Пирсън 100
§ 12. Допълнение към граничната формула на Лаплас 103
§ 13. Обща схема на Бернули и гранични формули 106
Глава VIII. Вероятност на хипотезите 109
§ 1. Поставяне на въпроса 109
§ 2. Примери 111
§ 3. Формула на Бейс за случайна величина 115
§ 4. Най-вероятна хипотеза и обръщане на формулата на Лаплас 118
§ 5. Метод на Лаплас 121
§ 6. Обръщане на теоремата на Бернули 125
§ 7. Асимптотична формула при постоянно т 127
Глава IX. Закон на Гаус за грешките 129
§ 1. Дефиниция и класификаця на грешките от наблюденията 129
§ 2. Закон на Гаус за грешките 131
§ 2. Вероятна грешка 134
§ 4. Средна грешка . 135
§ 5. Средна квадратична грешка и други 135
§ 6. Средна грешка на средната аритметична на няколко грешки 137
§ 7. Определяне на средната грешка от наблюдение 138
§ 8. Принцип на най-малките квадрати 140
§ 9. Тежест на наблюденията 141
§ 10. Пример от експериментално определяне на постоянната вероятност на едно събитие 144
§ 11. Друг пример 147
Глава X. Геометрически вероятности 148
§ 1. Определение 148
§ 2. Задача от положение на две точки върху дадена отсечка 151
§ 3. Задача от положение надве точки върху окръжност и върху сфера . . 154
§ 4. Проблеми от положение на две точки върху един кръг или върху една сфера 155
§ 5. Аналогична задача за квадрат 158
§ 6. Проблема на Бюфон за иглата 158
§ 7. Проблема на Лаплас за иглата 161
§ 8. Проблема на Марков за иглата 163
§ 9. Връзка между вероятност и средна стойност 164
§ 10. Теореми за средните стойности 166
§ 11. Примери 167
§ 12". Теорема на Крофтон 168
§ 13. Задача на Бертран 170
§ 14. Въвеждане на произволна функция 171
§ 15. Теорема на Поанкаре за случай на независимост на резултата от произволната функция 174
§ 16. Проблеми от положението на една права 175
Глава XI. Вериги на Марков 178
§ 1. Определение 178
§ 2. Матрица на прехода 178
§ 3. Примери 180
§ 4. Основна теорема на Марков183
§ 5. Достатъчни условия за положителния регулярен случай в проблемата за смесване на урните 193
§ 6. Абсолютна вероятност и обратна вероятност 196
Глава XII. Алгебричен метод 200
§ 1. Корени на характеристичното уравнение 200
§ 2. Алгебричен метод за намиране на преходните вероятности 204
§ 3. Примери 212
§ 4. Случай на прости корени на характеристичното уравнение 214
§ 5. Примери 217
Глава XIII. По-общи процеси на Марков 222
§ 1. Основни положения 222
§ 2. Уравнения на Колмогоров 223
Глава XIV. Разклоняващи се случайни процеси 226
§ 1. Общи положения 226
§ 2. Образуваща функция 228
§ 3. Диференциални уравнения за образуващата функция 230
§ 4. Намиране вероятността за израждане 232
§ 5. Гранични равенства 234
Глава XV. Случайна величина 240
§ 1. Понятие за случайна величина 240
§ 2. Функция на разпределение 241
§ 3. Двумерни случайни величини 246
§ 4. Разпределение на сума 250
§ 5. Дискретно разпределение . 253
§ 6. х2-разпределение 256
§ 7. Разпределение на частно 258
§ 8. Многомерно разпределение 262
§ 9. По-общо понятие за случайна величина 266
Глава XVI. Стилтесов интеграл 276
Глава XVII. Математическа надежда 284
§ 1. Математическа надежда на една случайна величина 284
§ 2. Свойства на математическата надежда 287
§ 3. Нормален закон за две променливи 290
§ 4. Дисперсия 298
§ 5. Моменти 305
§ 6. Свойства на моментите 309
§ 7. Някои характеристични числа 313
Глава XVIII. Теорема на Чебишев и следствия 314
§ 1. Лема на Чебишев 314
§ 2. Теорема на Марков 317
§ 3. Някои неравенства на вероятности 320
§ 4. Необходимо и достатъчно условие за закона на големите числа .... 324
§ 5. Усилен закон за големите числа 326
Глава XIX. Характеристична функция 330
§ 1. Дискретно променливо 330
§ 2. Теореми за гранично разпределение 335
§ 3. Случайни блуждения и задачи от разораване 338
§ 4. Процеси от дифузия 343
§ 5. Обшо разпределение 345
§ 6. Характеристични функции на многомерни случайни величини 353
§ 7. Формули за обръщане 358
§ 8. Теореми на Хели 364
§ 9. Гранични теореми на характеристичните функции 368
§ 10. Някои приложения 374
Глава XX. Централна гранична теорема 379
§ 1. Поставяне на проблемата 379
§ 2. Обобщение на теоремата на Ляпунов 381
Глава XXI. Неограничено делими закони за разпределение 386
§ 1. Определение и основни свойства 386
§ 2. Канонично предстаяяне на неограничено делимите закони 390
§ 3. Гранични теореми за неограничено делимите закони 394
§ 4. Гранични теореми за суми 398
Глава XXII. Стохастически процеси 4 03
§ 1. Определение 403
§ 2. Диференциални уравнения на Колмогоров 406
§ 3. Еднородни процеси в пространството 412
§ 4. Еднороден случаен процес и независими нараствания 413
Глава XXII. Приложения в статистиката 414
§ 1. Въведение
§ 2. Моменти
§ 3. Ред на Грам-Шарлие и развитие на Еджворт
§ 4. Развитие на Шарлие
§ 5. Разпределение на извадките
§ 6. Критерий за съгласуемост
§ 7. Оценка на параметрите на разпределението
§ 8. Доверителни интервали 453
Приложение. Таблица на значенията на функциите
