В книге американских математиков Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона «Теория обыкновенных дифференциальных урав­нений» дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов изложение современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлены следующие разделы: теоремы существо­вания и единственности, линейные уравнения, аналитическая . теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре— Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе.

Книга будет очень полезна всем математикам, физикам и инженерам, так или иначе соприкасающимся с дифференциальны­ми уравнениями.

**

**

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Книга Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона содержит подробное изложение разнообразных разделов теории обыкновенных диффе­ренциальных уравнений. Наряду с традиционными разделами этой теории, например таким и, как теоремы существования и единствен­ности или теория линейных систем, авторы дают довольно подроб­ное изложение аналитической теории дифференциальных урав­нений, теории самосопряженных краевых задач как для конеч­ного, так и для бесконечного интервала, а также введение в теорию несамосопряженных краевых задач.

Перечисленные разделы составляют содержание глав с I по XII включительно и, по существу, образуют первую часть книги, посвя­щенную линейным уравнениям.

Вторая часть книги, именно главы с XIII по XVII, посвящена нелинейной теории. Здесь изучается устойчивость решений, перио­дические решения и теория возмущения систем, имеющих периоди­ческое решение, качественная теория систем второго порядка (включая теорию Пуанкаре—Бендиксона) и, наконец, теория урав­нений на торе. Более подробное представление о содержании книги читатель может получить из оглавления.

Книга содержит много новинок. Большой интерес представляет систематическое применение в аналитической теории дифферен­циальных уравнений понятия формального решения. Спектральная теория самосопряженных дифференциальных уравнений изложена независимо от теории операторов в пространстве Гильберта.

К каждой главе приложено большое число задач; при этом наряду с легкими имеются также задачи значительной трудности. В большинстве случаев трудные задачи сопровождаются указа­ниями авторов, облегчающими их решение. Следует заметить, что решения многих задач можно найти в журнальных статьях, однако авторы в таких случаях ссылок на литературу не дают.

Книга является хорошим введением в большое число важных разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и может быть использована в качестве учебного пособия для сту­дентов и аспирантов физико-математических факультетов, а также может оказаться полезной для научных работников.

Б. М. Левитан.

***

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ

Эта книга возникла из лекций, читанных авторами, и содержит, вероятно, больше материала, чем обычно излагается в одногодич­ном курсе. Выбор материала частично обусловлен интересами авторов.

Мы надеемся, что книга окажется полезной как в области прак­тических применений дифференциальных уравнений, так и для математиков, не занимающихся приложениями. Для чтения книги необходимо знакомство с теорией матриц и с основами теории функций комплексного переменного. Понятие интеграла Лебега используется в главах II, VII, IX и X. Однако глава II необходима лишь для некоторых параграфов главы XV, которые в части, отно­сящейся к практическим применениям, полностью покрываются главой XIII. В главе VII можно легко обойтись без интеграла Лебега, что там и указано. Однако строгое изучение глав IX и X требует известного математического развития и, во всяком случае, предполагает понимание тех теорем теории интегрирования, которые здесь используются. Другой подход состоит в применении теории глав IX и X к ограниченному классу функций, как это указано в доказательстве теоремы 3.1 гл. IX. Этот подход предполагает лишь знание интеграла Римана—Стильтьеса.

Главы III—XII посвящены линейным уравнениям. Для линейной теории теоремы существования решений гл. I не необходимы. Теорема, необходимая для гл. III, намечена в задаче 1, помещенной в конце этой главы. Для глав IV и V достаточны результаты § 7 гл. III. Задача 7 гл. I обеспечивает необходимые дополнительные результаты существования для глав VII—XII.

Главы IV, V и VI не используются ни в одной из последующих глав. Глава VIII также не нужна ни для одной из последующих глав, не исключая глав IX и X. Глава VIII не зависит от главы VII.

Для главы XII требуется лишь глава VII, а для § 5 — также глава XI.

Для глав XIII и XIV нужны только главы I и III. Для большей части главы XV и для глав XVI и XVII достаточна гл. I.

Не делается никакой попытки показать историческое возникно­вение теории, и в конце книги дано только ограниченное число ссылок. В соответствии с этим авторы не делают указаний в тексте в тех случаях, когда они излагают новые результаты.

Задачи в некоторых случаях дают дополнительный материал, не рассмотренный в тексте.

Авторы выражают благодарность коллегам и студентам, про­читавшим отдельные части рукописи, в частности Ф. Г. Брауэру, проф. А. Хорну и доктору Дж. Дж. Левину.

Эрл А. Коддингтон, Норман Левинсон.