Assistant Professor of Mathematics University of California, Los Angeles & NORMAN LEVINSON Professor of Mathematics Massachusetts Institute of Technology McGRAW-HILL BOOK COMPANY, INC. New York Toronto London 1955
В книге американских математиков Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений» дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов изложение современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлены следующие разделы: теоремы существования и единственности, линейные уравнения, аналитическая . теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре— Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе.
Книга будет очень полезна всем математикам, физикам и инженерам, так или иначе соприкасающимся с дифференциальными уравнениями.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика 5
Из предисловия авторов 7
Глава I. СУЩЕСТВОВАНИЕ и ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
§ 1. Существование решений 9
§ 2. Единственность решений 16
§ 3. Метод последовательных приближений 20
§ 4. Продолжение решений 22
§ 5. Системы дифференциальных уравнений 24
§ 6. Уравнение порядка п 30
§ 7. Зависимость решений от начальных, данных и параметров 31
§ 8. Комплексные системы 41
Задачи 47
Глава II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Расширение понятия решения. Верхние и нижние решения ... 53
§ 2. Уточнения теорем единственности 60
§ 3. Единственность и последовательные приближения 65
§ 4. Зависимость решений от начальных данных и параметров 70
Задачи 73
Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Предварительные определения и обозначения 74
§ 2. Линейные однородные системы 79
§ 3. Неоднородные линейные системы 86
§ 4. Линейные системы с постоянными коэффициентами 87
§ 5. Линейные системы с периодическими коэффициентами 90
§ 6. Линейные дифференциальные уравнения порядка п 93
§ 7. Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами 102
§ 8. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем 103
Задачи 111
Глава IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ. ОСОБЕННОСТИ ПЕРВОГО РОДА
§ 1. Введение
§ 2. Классификация особенностей 125
§ 3. Формальные решения
§ 4. Строение фундаментальных матриц 13_
§ 5. Уравнение порядка п
§ 6. Особенности в бесконечности 141
§ 7. Пример. Уравнение второго порядка к;-
§ 8. Метод Фробениуса 145
Задачи
Глава V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ. ОСОБЕННОСТИ ВТОРОГО РОДА
§ 1. Введение 152
§ 2. Формальные решения 15-
§ 3. Асимптотические ряды 1Б9
§ 4. Существование решений, которые имеют своими асимптотическими разложениями формальные решения. Действительный случай
§ 5. Асимптотическая природа формального решения в комплексном случае
§ 6. Случай, когда матрица А0 имеет кратные характеристические корни
§ 7. Иррегулярные особые точки уравнения порядка п 183
§ 8. Интеграл Лапласа и асимптотические ряды 185
Задачи 13У
Глава VI. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР '
§ 1. Введение 189
§ 2. Формальные решения 190
§ 3. Асимптотическое поведение решений 193
§ 4. Случай равных характеристических корней 197
§ 5. Уравнение порядка п 193
Задачи 200
Глава VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО ИНТЕРВАЛА
§ 1. Введение 202
§ 2. Самосопряженные задачи на собственные значения 205
§ 3. Существование собственных значений 210
§ 4. Теоремы разложения и полноты 214
Задачи 218
Глава VIII. ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Теоремы сравнения 225
§ 2. Существование собственных значений 228
§ 3. Периодические краевые условия 231
§ 4. Области устойчивости для уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами 235
Задачи 238
Глава IX. СИНГУЛЯРНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. «Введение 240
§ 2. Случаи предельной точки и предельного круга 243
§ 3. Теоремы полноты и разложения в случае предельной точки в бесконечности 250
§ 4. Случай предельного круга в бесконечности 263
§ 5. Сингулярное поведение на обоих концах интервала 267
Задачи 276
Глава X. СИНГУЛЯРНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА п
§ 1. Введение 285
§ 2. Теорема разложения и равенство Парсеваля 286
§ 3. Теорема обратного преобразования и единственность спектральной матрицы 289
§ 4. Функция Грина 297
§ 5. Представление спектральной матрицы при помощи функции Грина 304
Задачи 307
Глава XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
§ 1. Введение 310
§ 2. Формула краевых форм 312
§ 3. Однородные краевые задачи и сопряженные задачи 314
§ 4. Неоднородные краевые задачи и функция Грина 320
Задачи 323
Глава XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Введение 325
§ 2. Функция Грина и теорегма разложения для случая Ьх — —х" 327
§ 3. Функция Грина и теорема разложения для случая Ьх = — х" + + Я®х ... 332
§ 4. Случай уравнения порядка п 336
§ 5. Характер разложения 338
Задачи 341
Глава XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 1. Асимптотическая устойчивость 343
§ 2. Первая вариация. Устойчивость траекторий (орбитальная устойчивость) 351
§ 3. Асимптотическое поведение одной системы 357
§ 4. Условная устойчивость 359
§ 5. Поведение решений вне устойчивого многообразия 372
Задачи 376
Глава XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
§ 1. Неавтономные системы 379
§ 2. Автономные системы 383
§ 3. Возмущение линейной системы с периодическим решением в неавтономном случае 387
§ 4. Возмущение автономной системы с обращающимся в нуль якобианом 396
Задачи 402
Глава XV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Двухмерные линейные системы 404
§ 2. Возмущения двумерной линейной системы 409
§ 3. Правильные узлы и правильные фокусы 411
§ 4. Центры 415
§ 5. Неправильные узлы 41&
§ 6. Седла 421
Задачи 422
Глава XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Предельные /множества траектории 423
§ 2. Теорема Пуанкаре—Бендиксона 426
§3. Предельные /множества с особыми точками 430
§ 4. Индекс изолированной особой точки 434
§ 5. Индекс простой особой точки 437
Задачи 430
Глава XVII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
§ 1. Введение 442
§ 2. Числа вращения 443
§ 3. Производное множество 446
§ 4. Эргодич^ский-случай 448
§ 5. Характеристика решений в эргодическом случае 452
§ 6. Система двух уравнений 455
Литература 457
Указатель обозначений 463
Предметный указатель 464
**
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона содержит подробное изложение разнообразных разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Наряду с традиционными разделами этой теории, например таким и, как теоремы существования и единственности или теория линейных систем, авторы дают довольно подробное изложение аналитической теории дифференциальных уравнений, теории самосопряженных краевых задач как для конечного, так и для бесконечного интервала, а также введение в теорию несамосопряженных краевых задач.
Перечисленные разделы составляют содержание глав с I по XII включительно и, по существу, образуют первую часть книги, посвященную линейным уравнениям.
Вторая часть книги, именно главы с XIII по XVII, посвящена нелинейной теории. Здесь изучается устойчивость решений, периодические решения и теория возмущения систем, имеющих периодическое решение, качественная теория систем второго порядка (включая теорию Пуанкаре—Бендиксона) и, наконец, теория уравнений на торе. Более подробное представление о содержании книги читатель может получить из оглавления.
Книга содержит много новинок. Большой интерес представляет систематическое применение в аналитической теории дифференциальных уравнений понятия формального решения. Спектральная теория самосопряженных дифференциальных уравнений изложена независимо от теории операторов в пространстве Гильберта.
К каждой главе приложено большое число задач; при этом наряду с легкими имеются также задачи значительной трудности. В большинстве случаев трудные задачи сопровождаются указаниями авторов, облегчающими их решение. Следует заметить, что решения многих задач можно найти в журнальных статьях, однако авторы в таких случаях ссылок на литературу не дают.
Книга является хорошим введением в большое число важных разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и может быть использована в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов физико-математических факультетов, а также может оказаться полезной для научных работников.
Б. М. Левитан.
***
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Эта книга возникла из лекций, читанных авторами, и содержит, вероятно, больше материала, чем обычно излагается в одногодичном курсе. Выбор материала частично обусловлен интересами авторов.
Мы надеемся, что книга окажется полезной как в области практических применений дифференциальных уравнений, так и для математиков, не занимающихся приложениями. Для чтения книги необходимо знакомство с теорией матриц и с основами теории функций комплексного переменного. Понятие интеграла Лебега используется в главах II, VII, IX и X. Однако глава II необходима лишь для некоторых параграфов главы XV, которые в части, относящейся к практическим применениям, полностью покрываются главой XIII. В главе VII можно легко обойтись без интеграла Лебега, что там и указано. Однако строгое изучение глав IX и X требует известного математического развития и, во всяком случае, предполагает понимание тех теорем теории интегрирования, которые здесь используются. Другой подход состоит в применении теории глав IX и X к ограниченному классу функций, как это указано в доказательстве теоремы 3.1 гл. IX. Этот подход предполагает лишь знание интеграла Римана—Стильтьеса.
Главы III—XII посвящены линейным уравнениям. Для линейной теории теоремы существования решений гл. I не необходимы. Теорема, необходимая для гл. III, намечена в задаче 1, помещенной в конце этой главы. Для глав IV и V достаточны результаты § 7 гл. III. Задача 7 гл. I обеспечивает необходимые дополнительные результаты существования для глав VII—XII.
Главы IV, V и VI не используются ни в одной из последующих глав. Глава VIII также не нужна ни для одной из последующих глав, не исключая глав IX и X. Глава VIII не зависит от главы VII.
Для главы XII требуется лишь глава VII, а для § 5 — также глава XI.
Для глав XIII и XIV нужны только главы I и III. Для большей части главы XV и для глав XVI и XVII достаточна гл. I.
Не делается никакой попытки показать историческое возникновение теории, и в конце книги дано только ограниченное число ссылок. В соответствии с этим авторы не делают указаний в тексте в тех случаях, когда они излагают новые результаты.
Задачи в некоторых случаях дают дополнительный материал, не рассмотренный в тексте.
Авторы выражают благодарность коллегам и студентам, прочитавшим отдельные части рукописи, в частности Ф. Г. Брауэру, проф. А. Хорну и доктору Дж. Дж. Левину.
Эрл А. Коддингтон, Норман Левинсон.
