Теория на решетките (класическа математическа книга от американския математик Гарет Биркхоф)
Г. Биркгоф (автор)
Твърда корица, голям формат | 567 стр. | 627 гр.
(неизползвана, здрава и чиста книга с надписано име и леко захабен вид.)
*
АННОТАЦИЯ
Книга является энциклопедией классической теории решеток (структур). В ней отражены основные направления этой теории, развивавшиеся в первые десятилетия ее становления (30 — 50-е годы), а также различные ее приложения. Многие из этих направлений, имеющих не только историческое значение, не находят должного отражения в современных учебниках. Большую роль в развитии теории решеток сыграли проблемы Биркгофа — некоторые из них продолжают оставаться открытыми. Переводчик и редактор дают, по возможности, полную информацию о современном состоянии этих проблем.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ (*)
Предисловие к русскому изданию 7
Предисловие автора к третьему изданию 9
Глава I. Типы решеток 11
1. Упорядоченные множества. Цепи (11). 2. Изоморфизм. Двойственность (13). 3. Диаграммы. Градуированные у множества (15). 4. Решетки (18). 5. Решетки как алгебры (21). 6. Дистрибутивность (24). 7. Модулярность (26). 8. Полумодулярность (29). 9. Модулярные решетки с дополнениями (31). 10. Булевы решетки. Булевы алгебры (32). (Проблемы 1—6)
Глава II. Постулаты для решеток 36
1. Квазипорядки (36). 2. Постулаты для решеток. Полурешетки (37). 3. Гомоморфизмы и идеалы (40). 4. Конгруэнции (43). 5. Решеточные многочлены (47). 6. Дистрибутивность (50). 7. Модулярность (56). 8. Полумодулярность и длина (60). 9. Отношение «между» (62). 10. Булевы алгебры (64). 11. Брауэровы решетки (66). 12. Булевы кольца (68). 13. Алгебры Ньюмена (71). 14. Орторешетки (74).
Глава III. Строение и теория представлений 78
1. Кардинальная арифметика (78). 2. Формальные свойства (80). 3. Представление дистрибутивных решеток (82). 4. Свободные дистрибутивные решетки (84). 5. Свободные булевы алгебры (86). 6. Свободная модулярная решетка М28 (88). 7. Свободные модулярные решетки, порожденные двумя цепями (90). 8. Центр (93). 9. Дистрибутивные и стандартные элементы (96). 10. Решетки с начальными дополнениями (98). 11. Лемма Швана. Независимость 1 (101). 12. Перспективность. Теорема Куроша—Оре (103). 13. Нейтральные элементы в модулярных решетках (106). (Проблемы 7—11)
Глава IV. Геометрические рещетки 109
1. Введение (109). 2. Модулярные пары (111). 3. Примеры (113). 4. Зависимость и ранг (117). 5. Постулаты для геометрических решеток (119). 6. Модулярные геометрические решетки (122). 7. Проективные геометрии (124). 8. Немодулярные геометрические решетки (126). 9. Решетки разбиений. Алгебраически замкнутые подполя (128). 10. Графы. Ширина и Д-ширина (132). 11*. Полиэдральные комплексы (133). 12. Функция Мёбиуса (136). 13*. Проективные преобразования и коллинеации (139). 14*. Проблема координатизации (140). 15. Ортодополнения в РОп-г (Щ (143). (Проблемы 12—30)
Глава V. Полные решетки 148
1. Операции замыкания (148). 2. Решетки идеалов (151). 3. Условная полнота. Теорема о неподвижной точке (153). 4. Топологическое замыкание (155). 5. Бесконечная дистрибутивность (156). 6. Решетки с единственными дополнениями (162). 7. Полярности (163). 8. Связи Галуа (165). 9. Пополнение сечениями (167). 10. Полные брауэровы решетки (170). 11*. Теорема Гливенко (171). (Проблемы 31—37)
Глава VI. Универсальная алгебра 175
1. Алгебра (175). 2. Подалгебры (177). 3. Гомоморфизмы (178). 4. Конгруэнции (180). 5. Прямые и подпрямые произведения (184). 6. Свободные алгебры слов (187). 7. Свободные алгебры (189). 8. Свободные решетки (192). 9. Постулаты (196). 10. Многообразия алгебр (199). П. Полиморфизмы. Криптоизоморфизмы (202). *12. Функторы и категории (205). (Проблемы 38—561
Глава VII. Приложения в алгебре 209
1. Модули. Группы с операторами (209). 2. Квазигруппы и лупы (210). 3. Перестановочные конгруэнции (212). 4. Прямые разложения (215). 5. Теоремы Жордана—Гёльдера (216). 6. Теорема Ку-роша—Оре. Принцип Ремака (218). 7. Теорема Оре (220). 8. Решетки подгрупп (223). 9. Подгруппы абелевых групп (225). 10. Нейтральные элементы. Центр (228). П. Модулярные решетки подгрупп (229). 12. Условие Жордана — Дедекинда и сверхразрешимость (231). (Проблемы 57—63)
Глава VIII. Трансфинитная индукция 235
1. Условия обрыва возрастающих и убывающих цепей (235). 2. Нё-теровы дистрибутивные решетки (238). 3. Конечно порожденные подалгебры (240). 4. Алгебраические замыкания (242). 5. Полные алгебраические решетки (244). 6. Регулярные кольца (248). 7. Цорнов-ское свойство. Аксиома Хаусдорфа (250). 8. Теорема о подпрямом разложении (253). 9. Атомно порожденные алгебраические решетки (256). 10. Ординальные суммы и произведения (259). 11. Подцепи в О и К (261). 12*. Однородные континуумы. Проблема Суслина (263). 13. Полное упорядочение. Ординалы (265). 14. Аксиома выбора (268). 15*. Ординальные степени (270). 16*. Гипотеза континуума. Некоторые сомнения (272). (Проблемы 64—71)
Глава IX. Приложения в общей топологии 276
1. Метрические пространства (276). 2. Топологические пространства (278). 3. Направленные множества и сети (279). 4. Регулярные открытые множества (282). 5. Г1-решетки (285). 6. Решетки топологий. Теорема Арнольда (287). 7. Базисы и предбазисы. Компактность (290). 8. Теоремы Александера и Тихонова. Компактификация (293). 9. Теорема Стоуна о представлении (297). 10. Решетки непрерывных функций (298). (Проблемы 72—80)
Глава X. Метрические и топологические решетки 301
1. Оценки. Квазиметрические решетки (301). 2. Метрические решетки. Метрическое пополнение (303). 3. Дистрибутивная оценка (306). 4. Оценки на модулярных решетках (307). 5. Непрерывные геометрии (310). 6. Жорданово разложение (312). 7. Внутренняя топология цепей (314). 8*. Плотные подмножества цепей (316). 9. Порядковая и звездная сходимости (318). 10. Звездная сходимость а 1етрических решетках (320). 11. Топологические решетки (323). 12. Интервальная топология (326). (Проблемы 81—92)
Глава XI. Борелевские алгебры и решетки фон Неймана 331
I Борелевские алгебры (331). 2. Представления борелевских алгебр (332). 3. Стандартные борелевские алгебры (335). 4. Булевы (X, X')-алгебры (337). 5. Конечные меры. Алгебры с мерой (339). 6. Внешняя мера, Регулярная мера (341). 7*. Существование мер (344). 8. Ре-щетки фон Неймана (347). 9. Перспективность транзитивна (350). 10 Функции размерности (353). 11. Орторешетки с размерностью (355). (Проблемы 93—107)
Глава XII. Приложения и логике и в теории вероятностей 360
I Булев изоморфизм (360). 2. Препозиционное исчисление. Критика I ;о1). 3. Брауэрова и модальная логики (364). 4. Свойства в класической механике (366). 5. Классическая вероятность (368). 6. Логика квантовой механики (369). (Проблемы 108-110)
Глава XIII. Решеточно упорядоченные группы 372
I. У-группы (372). 2. Направленные группы (375). 3. Свойства / групп (378). 4. Дальнейшие алгебраические свойства (381). 5*. Решеточно упорядоченные лупы (385). 6. Дискретные /-группы (386). 7. Линейно упорядоченные группы (387). 8*. Линейно упорядочиваемые группы (390). 9. Конгруэнции, /-идеалы (393). 10. Главные / идеалы (395). 11. Коммутативные /-группы. Единицы (397). 12*. Строение /-групп (400). 13. Полные /-группы (403). 14. Бесконечная дистрибутивность. Замкнутые /-идеалы (405). 15. Теорема Ивасавы (107). (Проблемы 111—121)
Глава XIV. Решеточно упорядоченные моноиды 411
1. У-группоиды (411). 2. Естественно упорядоченные моноиды (412). 3. Аксиомы для понятия величины (414). 4. Примеры /-группоидов и /-моноидов (416). 5. Деление (419). 6. Простейшие приложения (422). 7. Целостные/-группоиды (424). 8*. Коммутационные решетки (427). 9. Максимальные и простые элементы (430). 10. Абстрактная теория идеалов (432). 11. Основная теорема теории идеалов (435). 12. Фро-бениусовы /-моноиды (438). 13. Алгебра отношений (440). 14. Постулаты для алгебр отношений (441). (Проблемы 122—128)
Глава XV. Векторные решетки 445
1. Основные понятия (445). 2. /-идеалы (448). 3. Функциональные решетки (450). 4. Линейно упорядоченные векторные решетки (453). 5. Свободные векторные решетки (455). 6. Целозамкнутые направленные векторные пространства (457). 7. Дуальные пространства (459). 8. Полные векторные решетки (462). 9. Порядковая сходимость. Компоненты слабых единиц (463). 10. Представление в виде интеграла Стллтьеса (465). 11. Ограниченные линейные функции (467). 12. Банаховы решетки (470). 13. Относительно равномерная сходимость (473). 14. Равномерно монотонные нормы (475). 15. (^-пространства (479). 16. (АН-пространства (482). 17. Двойственность между (/.)- и (М)-пространствами (483). (Проблемы 129—142)
Глава XVI. Положительные линейные операторы 488
1. Введение (488). 2. Гильбертова проективная псевдометрика (489). 3. Теорема Перона (492). 4. Примитивные неотрицательные матрицы (495). 5. Равномерно полупримитивные операторы (497). 6. Равномерно полупримитивные мультипликативные процессы (500). 7. Операторы перехода (502). 8. Эргодическая теорема (503). 9. Метрическая транзитивность. Поточечная эргодическая теорема (507). (Проблемы 143—146)
Глава XVII. Решеточно упорядоченные кольца 511
1. У-кольца и /-кольца (511). 2. Линейно упорядоченные кольца и поля (512). 3. 7-идеалы. Радикал (515). 4. Представления. Регулярные /-кольца (517). 5. Функциональные кольца (519). 6. Почти /-кольца (521). 7*. Полные /-кольца (523). 8. Усредняющие операторы (524). (Проблемы 147—156)
Библиография 528
Добавление. Проблемы Биркгофа (В. Н. С а л и й) 535
Предметный указатель 558
Указатель обозначений 565
Указатель формул
------------
В оригинале перечисляются лишь названия глав. Для удобства мы приводим и названия параграфов. — Прим. перев.
1*
