Предисловие ко второму изданию 5
Глава I. Основные понятия элементарной теории вероятностей 9
§ 1. Опыт с равновероятными исходами 9
1. Опыт с конечным числом равновероятных исходов (9).
2. Некоторые комбинаторные формулы (12). 3. «Геометрические» вероятности (16).
§ 2. Пространство элементарных событий и закон сложения вероятностей 19
1. Комбинация событий (19). 2. Пространство элементарных событий (20). 3. Закон сложения вероятностей (23).
§ 3. Связь различных событий 26
1. Условные вероятности (26). 2. Независимые события (32). 3. Количество информации (35).
§ 4. Случайные величины 39
1. Случайные величины и их распределения вероятностей (39).
2. Математическое ожидание, дисперсия и коэффициент корреляции (45). 3. Целочисленные величины и производящие функции (49).
§ 5. Некоторые распределения вероятностей 51
1. Распределения вероятностей, связанные с законом Пуассона (51). 2. Распределения вероятностей, связанные с нормальным законом (54). 3. Распределения вероятностей, связанные с испытаниями Бернулли (62). 4. Некоторые распределения вероятностей, возникающие в схеме симметричного случайного блуждания и предельного процесса броуновского движения (68).
Рекомендуемая литература к главе I 73
Глава II. Пространства и меры 74
§ 1. Некоторые сведения об измеримых и топологических пространствах 74
1. Измеримые и топологические пространства (74). 2. Линейные пространства (67).
§ 2. {Распределения и меры 95
1. Меры в измеримых пространствах (95). 2. Меры в топологических пространствах (100). 3. Согласованные распределения (103).
§ 3. Меры и интегралы 108
1. Интеграл и его свойства (108). 2. Абстрактные меры и интегралы (121). Рекомендуемая литература к главе II 131
Глава III. Основания теории вероятностей 132
§ 1. Пространства элемептарпых событий. Распределения вероятностей и характеристические функции 132
1. Основные теоретико-вероятностные схемы (132). 2. Связи различных событий и случайных величин (139). 3. Случайные процессы и их распределения вероятностей (149).
§ 2. Основные типы случайных процессов 157
1. Случайные процессы как кривые в гильбертовом пространство (157). 2. Гауссовскне случайные процессы (166). 3. Мартингалы и стохастические интегралы (173). 4. Марковские случайные процессы (131). 5. Однородные и стационарные случайные процессы (188).
Рекомендуемая литература к главе III 192
Глава IV. Предельные теоремы теории вероятностей. . 193
§ 1. Распределения и их характеристические фупкции . . 193
1. Однозначность соответствия между распределениями и характеристическими функциями (193). 2. Формулы обращения (196). 3. Свойства распределений, выраженные в терминах характеристических функций (199).
§ 2. Оценка близости распределений по близости их характеристических функций 205
1. Равномерные расстояния (-05). 2. Многомерный случай (208).
§ 3. Моменты и семиинварианты 209
1. Формальные соотношения (209). 2. Проблема моментов (212). 3. Неравенства (213). 4. Сходимость моментов (215).
§ 4. Безгранично делимые распределения и их связь с предельными теоремами 218
1. Определение, связь с предельными теоремами (218).
2. Свойства безгранично делимых законов (-21).
§ 5. Последовательности независимых случайных величин (общие свойства) 222
§ 6. Последовательности независимых случайных величин. Сходимость к нормальному закону 228
1. Условия сходимости (228). 2. Уточнения (229). 3. Биномиальное распределение (23о). 4. Многомерный случай (235).
§ 7. Последовательности независимых случайных величии. Сходимость к устойчивым законам 236
1. Определение устойчивых законов и некоторые их свойства (236). 2. Условия сходимости. Уточнения (238).
§ 8. Локальные теоремы для решетчатых распределений . . 241
1. Асимптотическая равномерная распределенность (241).
2. Целочисленные одинаково распределенные слагаемые (242).
§ 9. Локальные теоремы для плотностей 244
§ 10. Вероятности больших отклонений. Неравенства и асимптотические формулы 246
§ 11. Заключительные замечания 250
Рекомендуемая литература к главе IV 256
Глава V. Марковские случайные процессы 257
§ 1. Марковские процессы с конечным или счетным числом состояний (цепи Маркова) 257
1. Марковское свойство и переходные вероятности (257). 2. Классификация состояний однородной марковской цепи (269). 3. Эргодические свойства однородных марковских цепей (275). 4. Общие скачкообразные марковские процессы (282).
§ 2. Ветвящиеся случайные процессы 284
1. Общее описание случайного ветвящегося процесса (284).
2. Ветвящиеся процессы с одним типом частиц ( 287).
§ 3. Случайные процессы с независимыми приращениями . 299
1. Последовательности сумм возрастающего числа независимых случайных величин (299). 2. Случайные блуждания и некоторые процессы массового обслуживания (303). 3. Процесс броуновского движении (316). 4. Структура случайных процессов с независимыми приращениями (326).
§ 4. Диффузионные процессы 335
I (иффоренциальные и стохастические уравнения (355). 1 Поведение однородных диффузионных процессов в граничных точках. Эргодические свойства (342). 3. Преобразования 1Иффуаионных процессов (354). 4. Обратное уравнение Колмогорова и распределения вероятностей некоторых функционалов от диффузионного процесса (360). 5. Многомерные диффузионные процессы (363).
§ 5. Общие марковские процессы и их характеристики . . 371
1. Полугруппы, отвечающие переходным функциям, и их инфииитезимальные операторы (371). 2. Инфинитезимальныс операторы, гармонические и эксцессивные функции (375).
§ 6. Управляемые марковские процессы 379
1. Управляемые марковские последовательности (379). 2. Управление по неполным данным (385). 3. Управляемые диффузионные процессы (389).
Рекомендуемая литература к главе V 391
Глава VI. Стационарные процессы 393
§ 1. Спектральная теория гармонизуемых процессов . . . 393
1. Линейные преобразования (393). 2. Регулярные стационарные процессы (400). 3. Линейное прогнозирование стационар"-ных процессов (407). 4. Физическая интерпретация спектрального представления (419). 5. Многомерные стационарные процессы (423). 6. Обобнщнные стационарные процессы и про-цессы со стационарными приращениями (427). 7. Гармонизуемые случайные процессы. Некоторые нелинейные преобразования (432).
§ 2. Стационарные в узком смысле процессы 440
1. Эргодические свойства (440). 2. Общие эргодические свойства. Приложение их к марковским процессам (444). 3. Спектральные условия эргодичности некоторых стационарных процессов (453).
§ 3. Гауссовские стационарные процессы 459
1. Некоторые свойства траекторий (459). 2. Выходы стационарного гауссовского процесса за определенный уровень (460). 3. Эквивалентность распределений вероятностей гауссовских стационарных процессов (465).
§ 4. Элементы математической теории передачи информации по стационарным каналам связи 468 1. Основные результаты о возможности передачи информации (463). 2. Формулы для количества информации (476).
Рекомендуемая литература к главе VI 484
Список специальных обозначений 486
Именной указатель 487
Предметный указатель .... 488
