АННОТАЦИЯ
В настоящем пособии содержится изложение курса теории вероятностей, а также элементов теории случайных функций и математической статистики. Помимо теоретического материала, в книге имеется большое количество примеров. Кроме того, в конце каждой главы предлагаются вопросы для самопроверки и задачи.
Предназначается для студентов высших технических учебных заведений.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
Глава 1. Определение вероятности и основные правила ее вычисления 8
§ 1.1. Случайные события. Классификация событий. 8
§ 1.2. Сумма и произведение событий 10
§ 1.3. Частота события и ее свойства 12
§ 1.4. Вероятность события 15
§ 1.5. Геометрическая вероятность 18
§ 1.6. Аксиоматическое построение теории вероят-
§ 1.7. Теорема сложения вероятностей 24
§ 1.8. Теорема умножения вероятностей 27
§ 1.9. Теорема сложения вероятностей для совместных событий 31
§ 1.10. Формула полной вероятности 34
§ 1.11..Теорема гипотез (формула Бейеса) 35
§ 1.12. Повторение испытаний. Формула Бернулли 38
§ 1.13. Наивероятнейшее число наступлений события при повторении испытаний 42
Вопросы для самопроверки 44
Упражнения 44
Глава 2. Случайные величины 48
§ 2.1. Понятие случайной величины 48
§ 2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 50
§ 2.3. Функция распределения 52
§ 2.4. Плотность распределения 59
§ 2.5. Числовые характеристики случайной величины 65
§ 2.6. Моменты случайной величины 77
§ 2.7. Биномиальное распределение 80
§ 2.8. Распределение Пуассона 82
§ 2.9. Равномерное распределение 87
§ 2.10. Показательное распределение 89
§ 2.11. Нормальное распределение 91
§ 2.12. Вероятность попадания случайной величины, имеющей нормальное распределение, на заданный участок Фукция Лапласа 94
Вопросы для самопроверки 99
Упражнения 100
Глава 3. Системы случайных величин 103
§ 3.1. Понятие о системе случайных величин .... 103
§ 3.2. Закон распределения системы случайных величин. Таблица распределения 104
§ 3.3. Функция распределения системы двух случайных величин 105
§ 3.4. Плотность распределения системы двух случайных величин 109
§ 3.5. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения 114
§ 3.6. Зависимые и независимые случайные величины 119
§ 3.7. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 122
§ 3.8. Функция и плотность распределения системы произвольного числа случайных величин . . . 126
§ 3.9. Числовые характеристики системы произвольного числа случайных величин 129
§ 3.10. Нормальное распределение на плоскости . . 132
Вопросы для самопроверки 140
Упражнения 141
Глава 4. Функции случайных величин 145
§ 4.1. Закон распределения функции одной случайной величины 145
§ 4.2. Распределение функционального преобразования системы случайных величин 151
§ 4.3. Закон распределения функции нескольких случайных величин 153
§ 4.4. Распределение Рэлея 157
§ 4.5. Определение математического ожидания функции случайных величин. Теоремы о математических ожиданиях 159
§ 4.6. Определение дисперсии функции случайных величин. Теоремы о дисперсиях 166
§ 4.7. Определение корреляционного момента функции случайных величин. Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции 172
§ 4.8. Комплексная случайная величина 177
§ 4.9. Характеристические функции 179
Вопросы для самопроверки 185
Упражнения 186
Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей 189
§ 5.1. Предварительные замечания 189
§ 5.2. Неравенство Чебышева 190
§ 5.3. Теорема Чебышева 192
§ 5.4. Теорема Бернулли 195
§ 5.5. Центральная предельная теорема 197
§ 5.6. Теорема Муавра — Лапласа 201
Вопросы для самопроверки 204
Упражнения 204
Глава 6. Случайные функции 206
§ 6.1. Определение случайной функции 206
§ 6.2. Многомерные плотности вероятности 208
§6.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной функции 210
§ 6.4. Корреляционная функция случайной функции 211
§ 6.5. Моменты высших порядков 216
§ 6.6. Примеры случайных функций 217
§ 6.7. Комплексные случайные функции 221
§ 6.8. Операции над случайными функциями .... 223
§ 6.9. Каноническое разложение случайных функций 231
§ 6.10. Стационарные случайные функции 234
§ 6.11. Эргодическое свойство стационарной случайной функции 237
§ 6.12. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном интервале ... 241
§ 6.13. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном интервале. Спектральная плотность стационарной случайной функции 246
§ 6.14. Примеры стационарных случайных функций 201
§ 6.15. Преобразование стационарной случайной функции линейной системой 256
Вопросы для самопроверки 261
Упражнения 262
Глава 7. Математическая статистика 268
§ 7.1. Предмет математической статистики 268
§ 7.2. Генеральная совокупность и выборка .... 269
§ 7.3. Статистический ряд. Статистическая функция распределения 270
§7.4. Статистическая совокупность. 1 истограмма. 272
§ 7.5. Числовые характеристики статистического распределения 274
§ 7.6. Свойства точечных оценок 2/5
§ 7.7. Определение приближенного значения измеря-емой величины и приближенного значения дисперсии в случае прямых равноточных измерений 277
§ 7.8. Определение приближенного значения измеряемой величины в случае неравноточных измерений 282
§ 7.9. Доверительный интервал. Доверительная вероятность 286
§ 7.10. Построение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, распределенной по нормальному закону. Распределение Стьюдента 290
§ 7.11. Определение приближенных значений число¬вых характеристик системы двух случайных величин 293
§ 7.12. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения оценок параметров распределений ... 296
§ 7.13. Сглаживание экспериментальных зависимостей 299
§ 7.14. Метод наименьших квадратов 301
§ 7.15. Статистическая проверка гипотез 304
§ 7.16. Понятие о критериях согласия 313
Вопросы для самопроверки 316
Упражнения 3321
Приложения 325
Литература
