Монография посвящена новому направлению современной алгебры — теории универсальных обертывающих алгебр. Это направление возникло в результате изучения алгебраических аспектов теории бесконечномерных представлений групп Ли, особенно бурно развивавшейся в последние три десятилетия. В книге представлено большое количество полученных к настоящему времени нетривиальных результатов и используется интересная техника, основанная на соединении алгебраических и топологических идей. Автор поставил много перспективных проблем, над решением которых активно работают математики как за рубежом, так и в нашей стране.
Все это дает основание надеяться, что книга будет интересна широкому кругу математиков самых различных специальностей. Четкое изложение и полнота представленного материала делают ее доступной студентам старших курсов и аспирантам университетов.
В настоящий перевод с французского оригинала 1974 г. внесены уточнения из английского издания 1977 г.
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Выходящая в русском переводе книга известного французского математика Ж. Диксмье является первой в мировой литературе монографией, посвященной универсальным обертывающим алгебрам. Публикация этой книги знаменует собой определенный этап формирования молодой математической теории, развитие которой насчитывает немногим более двадцати пяти лет. В книге систематизированы важнейшие достижения в этой области, от первоначальных работ И. М. Гельфандэ и Хариш-Чандры до современных исследований французской школы, относящихся к индуцированным модулям и примитивным идеалам.
Универсальные обертывающие алгебры представляют собой замечательный класс ассоциативных алгебр, в которых отклонение от коммутативности определяется законом коммутации некоторой фиксированной алгебры Ли. При этом каждая универсальная обертывающая алгебра является ассоциативной оболочкой соответствующей алгебры Ли. Эпизодически универсальные обертывающие алгебры встречались еще в работах Г. Вейля под названием инфинитезимальных групповых колец; сам же термин был введен Хариш-Чандрой.
В предисловии автора достаточно подробно отмечено значение универсальных обертывающих алгебр в теории представлений групп и алгебр Ли. Можно лишь добавить, что в последние годы происходит заметная алгебраизация теории непрерывных представлений групп Ли в гильбертовых пространствах, в процессе которой многие задачи, казавшиеся прежде по существу аналитическими, удалось решить алгебраическими методами. Значительная часть книги Ж. Диксмье посвящена алгебраическому варианту «орбитного метода», также впервые возникшего в теории представлений групп Ли в гильбертовых пространствах.
Книга содержит богатый фактический материал и будет, безусловно, полезна широкому кругу читателей, главным образом, специалистам по алгебре, теории представлений групп Ли и теоретической физике.
В русском переводе, осуществлявшемся с французского издания 1974, внесены уточнения по английскому изданию 1977 г.
В заключение мне хотелось бы поблагодарить автора за внимание, которое он] уделил подготовке русского издания книги.
Д. Желобенко
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
(с грешки от сканирането на математическите символи)
От редактора перевода 5
Введение 7
Глава 1. Алгебры Ли 13
1.1. Основные понятия 13
1.2. Представления 17
1.3. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли 24
1.4. Радикал. Наибольший нильпотентный идеал 32
1.5. Полупростые алгебры Ли 34
1.6. Полупростота представлений 37
1.7. Редуктивные алгебры Ли 42
1.8. Представления алгебры Ли Л (2, к) 47
1.9. Подалгебры Картана 50
1.10. Система корней в расщепляемой полупростой алгебре Ли- 54
1.11. Регулярные линейные формы 65
1.12. Поляризации 69
1.13. Полупростые симметрические алгебры Ли 76
1.14. Комментарии и дополнения . . , 82
Глава 2. Универсальные обертывающие алгебры 85
2.1. Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта 85
2.2. Функтор Н 89
2.3. Фильтрация универсальной обертывающей алгебры ... 95
2.4. Каноническое отображение симметрической алгебры в универсальную обертывающую алгебру 97
2.5. Существование конечномерных представлений 103
2.6. Централизатор простого модуля 186
2.7. Алгебра, дуальная к универсальной обертывающей алгебре 111
2.8. Комментарии и дополнения 118
Глава 3. Двусторонние идеалы в универсальных обертывающих алгебрах 122
3.0 122
3.1. Примитивные идеалы, первичные идеалы 122
3.2. Пространство примитивных идеалов 126
3.3. Переход к идеалу алгебры Ли д 128
3.4. Расширение поля скаляров 133
3.5. Размерность Крулля 135
3.6. Кольца частных , 139
3.7. Первичные идеалы в разрешимом случае 147
3.8. Комментарии и дополнения 150
Глава 4. Центры 152
4.1. Обозначения 152
4.2. Центр и сердцевина в полупростом случае 154
4.3. Полуцентр 155
4.4. Центр и сердцевина в разрешимом случае 157
4.5. Характеризация примитивных идеалов в разрешимом случае 172
4.6. Алгебры Гейзенберга. Алгебры Вейля 168
4.7. Центр и сердцевина в нильпотентном случае 174
4.8. Инвариантные идеалы в симметрической алгебре (нильпотентный случай) 181
4.9. Комментарии и дополнения 185
Глава 5. Индуцированные представления 191
5.1. Индуцированные представления 191
5.2. Подкрученные индуцированные представления 197
5.3. Критерий неприводимости индуцированных представлений 199
5.4. Построение примитивных идеалов посредством индуцирования 203
5.5. Коиндуцированвые представления 209
5.6. Комментарии и дополнения 211
Глава 6. Примитивные идеалы (разрешимый случай) 214
6.1. Идеалы I (/) 214
6.2. Рациональные идеалы в нильпотентном случае 222
6.3. Первичные идеалы универсальной обертывающей алгебры и инвариантные первичные идеалы симметрической алгебры (нильпотентный случай) 227
6.4. Топология Джекобсона 230
6.5. Инъективность отображения I 239
6.6. Комментарии и дополнения 251
Глава 7. Модули Верма 255
7.0. Обозначения 255
7.1. Модули Ь (X) и М (Я) 256
7.2. Конечномерные представления 260
7.3. Инварианты в симметрической алгебре 264
7.4. Гомоморфизм Хариш-Чандры 267
7.5. Характеры 271
7.6. Подмодули модуля М (Я) 274
7.7. Подмодули модуля М (Я) и отношение порядка на группе Вейля 289
7.8. Комментарии и дополнения 293
Глава 8. Универсальная обертывающая алгебра полупростой алгебры Ли 301
8.1. Конус нильпотентных элементов 301
8.2. Универсальная обертывающая алгебра как модуль над своим центром ' 305
8.3. Присоединенное представление в универсальной обертывающей алгебре 308
8.4. Аннуляторы модулей Верма 313
8.5. Комментарии и дополнения 317
Глава 9. Модули Хариш-Чандры/) 320
9.0 320
9.1. Случай подалгебры, редуктивной в алгебре Ли д . . . . 320
9.2. Канонические отображения, определенные симметризующей подалгеброй 327
9.3. Основная серия 334
9.4. Теорема о факторе 337
9.5. Теоремы конечности 340
9.6. Сферические модули в диагональном случае 342
9.7. Комментарии и дополнения 348
Глава 10. Примитивные идеалы (общий случай) 353
10.1. Некоторые канонические гомоморфизмы 353
10.2. Переход к индуцированным представлениям 359
10.3. Идеалы I (/) 362
10.4. Отображение в центр универсальной обертывающей алгебры 370
10.5. Комментарии и дополнения 373
Глава 11. Приложение 375>
11.1. Системы корней 375
11.2. Различные результаты 379
Проблемы 383
Список литературы 388
Указатель обозначений 400
Указатель терминов 402
