Книга представляет собой переработанный вариант курса лекций по математической физике, читаемых автором в течение ряда лет студентам Московского инженерно-физического института. Она охватывает традиционные разделы теории линейных уравнений с частными производными второго порядка эллиптического, гиперболического и параболического типа и элементы теории линейных интегральных уравнений, на которых основан один из методов решения основных задач математической физики. Значительное место в книге занимает описание методов, наиболее часто применяемых на практике при решении уравнений с частными производными, таких, например, как: метод разделения переменных, метод интегральных преобразований, метод конечных разностей, вариационные методы и метод априорных оценок. Книга рассчитана на студентов вузов и преподавателей
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга состоит из введения и шести глав.
Во введении приведены основные понятия и определения из традиционного курса математической физики, а также упрощенные математические модели некоторых явлений, изучаемых в физике и технике.
Уравнениям эллиптического типа посвящены главы I и II. Здесь значительное место занимает изучение системы Коши — Римана, т. е. элементов теории аналитических функций, что сильно способствует глубокому пониманию методов теории функций комплексного переменного, играющих важную роль в математической физике.
В главах III и IV установлены структурные свойства решений уравнений гиперболического и параболического типов. В центре внимания находятся основные задачи для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
В главе V изложены элементы теории линейных интегральных уравнений. Отдельный параграф этой главы занимают сингулярные интегральные уравнения, часто встречающиеся в приложениях.
Описанию методов, наиболее удобных на практике при решении уравнений с частными производными, посвящена глава VI. На типичных примерах раскрыта сущность методов Фурье, интегральных преобразований, конечных разностей, асимптотических оценок, а также вариационных методов.
Для освоения материала, изложенного в книге, вполне достаточно знание курса классического математического анализа в объеме программ высших учебных заведений. Поскольку в этих программах раздел современного функционального анализа, как правило, отсутствует, в настоящей книге, к сожалению, не нашли своего места методы теории обобщенных функций и вложения функциональных пространств.
А. Бицадзе
7.IV.1975, Москва
*****
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Введение 9
§ 1. Вводные понятия и определения 9
1°. Понятия дифференциального уравнения с частными производными и его решения 9
2°. Понятие характеристической формы и классификация линейных уравнений второго порядка 11
3°. Классификация уравнений высшего порядка 13
4°. Системы уравнений с частными производными .... 14
§ 2. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными 15
1°. Характеристические кривые и характеристические направления . 15
2°. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными .... 18
§ 3. Простейшие примеры трех основных типов уравнений с частными производными второго порядка 21
1°. Уравнение Лапласа 21
2°. Волновое уравнение 24
3°. Уравнение теплопроводности 27
4°. Постановка некоторых задач для уравнений с частными производными 28
§ 4. Понятие интегрального уравнения 29
1°. Основные определения и обозначения 29
2°. Классификация линейных интегральных уравнений . . 30
§ 5. Упрощенные математические модели некоторых явлений, изучаемых в физике и технике 32
1°. Электростатическое поле 32
2°. Колебания мембраны 34
3°. Распространение тепла 37
4°. Движение материальной точки под действием силы тяжести 38
Глава I. Уравнения эллиптического типа 40
§ 1. Основные свойства гармонических функций 40
1°, Определение гармонической функции и некоторые ее элементарные свойства 40
2°. Интегральное представление гармонических функций 43
3°. Формулы о среднем арифметическом 44
4°. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле 46
§ 2. Понятие функции Грина и решение задачи Дирихле для шара и полупространства 47
1°. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа 47
2°. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона 49
3°. Проверка краевых условий 52
4°. Решение задачи Дирихле для полупространства ... 53
5°, Некоторые важнейшие следствия, вытекающие из формулы Пуассона. Теоремы Лиувилля и Гарнака 55
§ 3. Потенциал объемных масс 57
1°. Непрерывность потенциала объемных масс и его производных первого порядка 57
2°. Существование производных второго порядка потенциала объемных масс 59
3°. Уравнение Пуассона 61
4°. Формула Гаусса 63
§ 4. Потенциалы двойного и простого слоя 65
1°. Определение потенциала двойного слоя 65
2°. Формулы скачка для потенциала двойного слоя и редукция задачи Дирихле к интегральному уравнению ... 68
3°. Потенциал простого слоя. Задача Неймана 71
4°. Внешние задачи Дирихле и Неймана 74
§ 5. Некоторые сведения из общей теории линейных эллиптических уравнений второго порядка 75
1°. Сопряженные операторы. Формула Грина 75
2°. Существование решений линейного эллиптического уравнения второго порядка 77
3°. Постановка краевых задач 79
4°. Принцип . экстремума. Единственность решения задачи Дирихле 80
5°. Обобщенные потенциалы простого и двойного слоя . . 82
Глава II. Система Коши — Римана. Элементы теории аналитических функций 85
§ 1. Понятие аналитической функции комплексного переменного 85
1°. Система Коши — Римана 85
2°. Понятие аналитической функции 86
3°. Примеры аналитических функций 89
4°. Конформное отображение 92
5°. Конформные отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функциями и обращение этих функций. Понятие римановой поверхности 96
§ 2. Комплексное интегрирование 102
1°. Понятие комплексного интегрирования 102
2°. Теорема Коши 104
3°. Интегральная формула Коши 107
4°. Интеграл типа Коши 110
5°. Сопряженные гармонические функции, Теорема Морера 111
§ 3. Важнейшие следствия, вытекающие из интегральной формулы Коши ИЗ
1°. Принцип максимума модуля аналитической функции . .113
2°. Теоремы Вейерштрасса 114
3". Ряд Тейлора 117
4°. Единственность аналитической функции. Теорема Лиувилля 118
5°. Ряд Лорана 119
6°. Понятия особых точек и вычета аналитической функции 122
7°. Формула Шварца. Решение задачи Дирихле 123
§ 4. Аналитическое продолжение 131
1°. Понятие аналитического продолжения 131
2°. Принцип непрерывности 131
3°. Принцип симметрии Римана — Шварца 132
§ 5. Формулы для предельных значений интеграла типа Коши и некоторые их приложения 133
1°. Понятие интеграла в смысле главного значения по Коши 133
2°. Касательная производная потенциала простого слоя . .135
3°. Предельные значения интеграла типа Коши 138
4°. Понятие кусочно-аналитической функции 140
5°. Приложения к краевым задачам 1,41
§ 6. Функции нескольких переменных 147
1°. Вводные понятия и обозначения 147
2°. Понятие аналитической функции нескольких переменных 148
3°. Степенной ряд с несколькими переменными 150
4°. Интегральная формула Коши и теорема Тейлора . . . 152
5°. Аналитические функции действительных переменных . .134
6°. Конформные отображения в евклидовых пространствах 156
Глава III. Уравнения гиперболического типа 160
§ 1. Волновое уравнение 160
1°. Волновое уравнение с тремя пространственными переменными. Формула Кирхгофа 160
2°. Волновое уравнение с двумя пространственными переменными. Формула Пуассона 162
3°. Уравнение колебаний струны. Формула Даламбера . . 163
4°. Понятия области зависимости, области влияния и области определения 165
§ 2. Неоднородное волновое уравнение 166
1°. Случай трех пространственных переменных. Запаздывающий потенциал 166
2°. Случай двух и одного пространственных переменных . . 168
§ 3. Задачи, корректно поставленные для гиперболических уравнений 170
1°. Единственность решения задачи Коши 170
2°. Корректность постановки задачи Коши 171
3°. Общая постановка задачи Коши 172
4°. Задача Гурса 174
5°. Некоторые некорректно поставленные задачи .... 175
§ 4. Общее линейное уравнение второго порядка гиперболического типа с двумя независимыми переменными
1°. ФУНКЦИЯ Римана 176
2°. Задача Гурса 180
3°. Задача Коши 181
Глава IV. Уравнения параболического типа 184
§ 1. Уравнение теплопроводности. Первая краевая задача . . 184
1°. Принцип экстремума 184
2°. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности 186
§ 2. Задача Коши — Дирихле 188
1°. Постановка задачи Коши — Дирихле и доказательство существования ее решения 188
2°, Единственность и устойчивость решения задачи Коши — Дирихле , 190
3°. Неоднородное уравнение теплопроводности 191
§ 3. О характере гладкости решений уравнений с частными производными 191
1°. Случай эллиптических и параболических уравнений . . 191
2°. Случай гиперболических уравнений 192
Глава V. Интегральные уравнения 193
§ 1. Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений 193
1". Общие замечания 193
2°. Построение решения уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра методом последовательных приближений 194
3°. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода . . .196
§ 2. Теоремы Фредгольма 197
1°, Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром 197
2°. Понятия итерированного ядра и резольвенты 201
3°. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром 202
4°. Понятие спектра , . , 206
5°. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода с кратным интегралом 208
6°. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода . . . 209
§ 3. Применения теории линейных интегральных уравнений второго рода 210
1°. Применение альтернативы Фредгольма в теории краевых задач для гармонических функций 210
2°. Редукция задачи Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к интегральному уравнению Вольтерра второго рода 213
3°. Краевая задача для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка 215
§ 4. Сингулярные интегральные уравнения 218
1°. Понятие сингулярного интегрального уравнения . . . 218
2°. Интегральное уравнение Гильберта 219
3°. Преобразование Гильберта 222
4°. Интегральное уравнение теории крыла самолета . . , 223
5°, Интегральное уравнение с логарифмическим ядром 225
Глава VI. Методы, наиболее часто применяемые на практике при решении уравнений с частными производными 227
§ 1, Метод разделения переменных 227
1°. Решение основной смешанной задачи для уравнения колебаний струны 227
2°. Задача колебаний мембраны 232
3°. Понятие полной ортонормированной системы функций . 235
4°. Случай круговой мембраны 237.
5°. Общие замечания относительно метода разделения переменных 241
6°. Шаровые и сферические функции 243
7°. Вынужденные колебания 245
§ 2. Метод интегральных преобразований 246
1°, Интегральные представления решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка 246
2°. Понятия преобразований Лапласа, Фурье и Меллина . 252
3°. Применение интегральных преобразований к задачам для дифференциальных уравнений с частными производными 255
4°. Применение преобразования Фурье при построении глобального решения задачи Коши для уравнения колебаний струны 257
5°. Понятие свертки 260
6°. Понятие б-функции Дирака 263
§ 3. Метод конечных разностей 265
1°. Конечно-разностная замена уравнений с частными производными 265
2°. Задача Дирихле для уравнения Лапласа 266
3°. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности 268
4°. Общие замечания относительно метода конечных разностей 268
§ 4. Асимптотическое разложение 269
1°. Асимптотическое разложение функции одного переменного 269
2°. Метод Ватсона построения асимптотических разложений 274
3°. Метод перевала 277
§ 5. Понятие о вариационных методах 280
1°. Принцип Дирихле 280
2°. Задача о собственных значениях 282
3°. Минимизирующие последовательности 284
4°. Понятие о методе Ритца 285
5°. Построение приближенного решения задачи о собственных значениях. Понятие о методе Бубнова — Галеркииа 287
Предметный указатель 289
