В основу книги положен курс лекций по теории уравнений с частными производными, прочитанный на семинаре по прикладной математике, который был организован Американским математическим обществом.
Книга освещает современное состояние теории; наряду с известными, ставшими уже классическими результатами и методами, в пей излагаются достижения последних лет, знакомство с которыми необходимо каждому, кто имеет дело с уравнениями математической физики.
Книга рассчитана на математиков, научных работников других специальностей (механиков, физиков, радиотехников и т. д.), а также инженеров.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 8
Введение 9
Часть I. Гиперболические и параболические уравнения, Ф. Джон
Глава 1. Уравнения гиперболического и параболического типов . . 13
Глава 2. Волновой оператор 16
§ 2.1. Одномерное волновое уравнение 16
§ 2.2. Задача с начальными условиями для волнового уравнения в трехмерном пространстве 22
§ 2.3. Анализ решения 24
§ 2.4. Метод спуска 27
§ 2.5. Неоднородное волновое уравнение 28
§ 2.6. Задача Коши с начальными данными на произвольной поверхности 30
§ 2.7. Интегралы энергии и априорные оценки 35
§ 2.8. Общее линейное уравнение с волновым оператором в главной части 43
§ 2.9. Смешанные задачи 47
Глава 3. Задача Коши, характеристические поверхности и распространение разрывов 49
§ 3.1. Обозначения 49
§ 3.2. Соотношения между частными производными на поверхности 51
§ 3.3. Свободные поверхности. Характеристическая матрица . . 53
§ 3.4. Задача Коши. Теорема единственности Хольмгрена . , , 56
§ 3.5. Распространение разрывов 63
Глава 4. Линейные гиперболические дифференциальные уравнения . 72
§ 4.1. Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами методом преобразования Фурье 74
§ 4.2. Гиперболические системы однородных уравнений с постоянными коэффициентами 79
§ 4.3. Метод разложения на плоские волны 80
§ 4.4. Априорные оценки 84
§ 4.5. Общее линейное строго гиперболическое уравнение с постоянными коэффициентами в главной части -87
§ 4.6. Системы первого порядка с постоянными коэффициентами в главной части 91
§ 4.7. Симметрические гиперболические системы с переменными коэффициентами 96
Глава 5. Параболические уравнения. Уравнение теплопроводности 104
§ 5.1. Общие параболические уравнения 104
§ 5.2. Уравнение теплопроводности. Принцип максимума . . . 105
§ 5.3. Решение задачи Коши 108
§ 5.4. Гладкость решений 110
§ 5.5. Задача с начальными и граничными условиями в прямоугольнике 114
Глава 6. Приближенное решение дифференциальных уравнений с частными производными методом конечных разностей . . 118
§ 6.1. Решение параболических уравнений 119
§ 6.2. Устойчивость разностных схем для других типов уравнений 125
Библиография 132
Часть II. Эллиптические уравнения, Л. Берс и М. Шехтер
Глава 1. Эллиптические уравнения и их решения 141
§ 1.1. Введение ; . . . 141
§ 1.2. Линейные эллиптические уравнения 142
§ 1.3. Гладкость решений 143
§ 1.4. Единственность продолжения 147
§ 1.5. Граничные условия 149
Приложение I. Эллиптичность и сильная эллиптичность .... 151
Приложение II. Совпадение сильной и слабой производных . . 152
Глава 2. Принцип максимума 158
§ 2.1. Уравнения второго порядка 158
§ 2.2. Формулировка и доказательство принципа максимума . . 159
§ 2.3. Приложения к задаче Дирихле 161
§ 2.4. Приложение к обобщенной задаче Неймана 162
§ 2.5. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей . . 163
§ 2.6. Решение разностного уравнения методом последовательных приближений 166
§ 2.7. Принцип максимума для градиента 168
§ 2.8. Теорема Карлемана о единственности продолжения . . . 170
Глава 3. Функциональные методы. Периодические решения .... 172
§ 3.1. Периодические решения 172
§ 3.2. Гильбертовы пространства Я( 173
§ 3.3. Структура пространств Н{ 175
§ 3.4. Основные неравенства 178
§ 3.5. Теорема о дифференцируемости 182
§ 3.6. Решение уравнения Еи={ 183
Приложение I. Теорема о проекции 186
Приложение II. Теория Фредгольма — Рисса — Шаудера ... 191
Глава 4. Функциональные методы. Задача Дирихле 198
§ 4.1. Введение 198
§ 4.2. Регулярность внутри области 198
§ 4.3. Пространства Н1 и Н10 200
§ 4.4. Некоторые леммы относительно Яд 201
§ 4.5. Обобщенная задача Дирихле 204
§ 4.6. Существование слабых решений 206
§ 4.7. Регулярность в точках границы 208
§ 4.8. Неравенства для полукуба 210
Приложение. Аналитичность решений 215
Глава 5. Методы теории потенциала 220
§ 5.1. Фундаментальные решения. Параметрикс 220
§ 5.2. Некоторые функциональные пространства 225
§ 5.3. Основные неравенства 229
§ 5.4. Локальная теорема существования 237
§ 5.5. Внутренние оценки шаудеровского типа 240
§ 5.6. Оценки вплоть до границы 244
§ 5.7. Применения к задаче Дирихле 246
§ 5.8. Гладкость сильных решений 249
Приложение I. Доказательства основных неравенств 251
Приложение II. Доказательства лемм об интерполяции .... 259
Глава 6. Методы теории функций комплексного переменного . . . 263
§ 6.1. Переход к комплексным переменным 264
§ 6.2. Уравнение Бельтрами 266
§ 6.3. Теорема о представлении 268
§ 6.4. Следствия из теоремы о представлении 270
§ 6.5. Две краевые задачи 272
Приложение. Свойства уравнения Бельтрами. Теорема Привалова 276
Глава 7. Квазилинейные уравнения 291
§ 7.1. Краевые задачи 291
§ 7.2. Методы решения 292
§ 7.3. Примеры 295
Библиография 300
Дополнение I. Разложения по собственным функциям, Л. Гординг 309
Дополнение II. Параболические уравнения, А. Н. Мильграм . . . 333
Предметный указатель 345
