ПРЕДГОВОР

Този том* е резултат от четенето на лекции, предназначени за студентите от първа година на горния курс** или за особено напред­нали студенти от долните курсове. Целта на тези лекции (четени в Северозападния университет през учебната 1956—1957 г.) бе двояка: първо, да дадат необходимата елементарна основа за всички онези клонове на съвременната математика, в които анализът" има дял (а това означава в същност всички клонове с евентуално изключение на логиката и на чистата алгебра), второ, да приучат студента да си служи с основния математически инструмент на нашето време — ак­сиоматичния метод (с който през време на първите години от следва­нето си той е имал твърде малък контакт, ако изобщо е имал такъв).

На читателя ще стане напълно ясно, че ние навсякъде изтъкваме предимно концептуалния аспект на всяко понятие, а не толкова из­числителния, който бе главната грижа на класическия анализ (вж. [26]). Това се отнася не само за основния текст, а и за повечето задачи. Включихме доста задачи, за да допълним текста и да посочим и други ' интересни направления. В същото време задачите ще дадат възможност на студента да провери доколко е усвоил изложения материал.

Въпреки че този том включва голяма част от материала, обикно­вено излаган в по-елементарни курсове (третиращи онова, което обик­новено се нарича „Допълнителни глави на анализа"), гледището, от което се излага този материал, е съвсем различно от възприетото в тези курсове. Основните понятия на теорията на функциите и на ана­лиза са представени в рамките на една теория, която е достатъчно обща, за да разкрие много повече обхвата, мощта и истинската при­рода на тези понятия, отколкото е възможно при обичайните ограни­чения на „класическия анализ". Не е необходимо да подчертаваме добре известната „икономия на мисълта", която се постига при такова общо разглеждане; може да се изтъкне обаче съответната „икономия на означенията", която прави излишни масата индекси, също както век­торната алгебра опростява класическата аналитична геометрия. Това има за последица още и необходимостта от точно придържане към аксиоматичния метод без каквото и да е позоваване на „геометричната интуиция" поне във формалните доказателства — необходимост, която сме подчертали, като съзнателно сме избягнали въвеждането на как­вито и да е чертежи в книгата. Аз съм на мнение, че ако днес един студент от горния курс иска изобщо да разбере какво става сега в математиката, той трябва колкото може по-скоро да придобие основни навици в този абстрактен и аксиоматичен начин на мислене. Тази книга цели да помогне на студента да си изработи онази „интуиция за аб­страктното*, която е така присъща на ума на съвременния математик.

Ясно е, че преди да пристъпи към тази книга, студентът трябва да има добри работни познания по класическия анализ. От строго ло­гическа гледна точка обаче изложението не се основава на никакви предварителни познания с изключение на:

1. Началните правила на математическата логика, математическата индукция и основните свойства на целите (положителни и отрицателни) числа.

2. Елементарната линейна алгебра (над поле), с която читателят може да се запознае от Халмош [14], Джекобсън [16] или Бурбаки 44]; тези книги обаче съдържат много повече материал, отколкото фактически е нужен (например ние няма да използваме теорията на ду­алността и за читателя ще бъде достатъчно да познава понятията ли­нейно подпространство, хиперравнина, директна сума, линейно изобра­жение, линейна форма, размерност и коразмерност)***.

При доказателството на всяко твърдение се опираме изключително на аксиомите и на вече доказаните ,в текста теореми с току-що спо­менатите две изключения. Тази строга последователност от логически -стъпки донякъде се смекчава в примерите и задачите, където често прилагаме дефиниции и резултати, които още не са били (или изобщо няма да бъдат) доказани в текста.

Разбира се, възможно е голямо различие в мненията по въпроса за онези "части от анализа, които един студент би следвало да изучава ярез първата година на горния курс. Тъй като искахме съдържанието на книгата да не надминава по обем материала, който действително може да се изучи за една учебна година, някои въпроси трябваше да "бъдат изоставени. Някои теми не бяха включени поради твърде спе­циалния им характер, а други — понеже изискват по-голяма матема­тическа зрелост, отколкото може да се очаква от един студент от първа година на горния курс или пък материалът несъмнено се раз­глежда в курсовете по допълнителни глави на анализа. Ако останеше за нас да предложим обща програма за обучението по математика в горния курс, бихме препоръчали да се изисква от всеки студент от горния курс да знае съдържанието на тази книга независимо от това, какво ще специализира в бъдеще.

Бих желал да изкажа благодарност на онези математици, които ми помогнаха при изготвянето на тези лекции, и по-специално на А. Картан и Н. Бурбаки, които ми дадоха  достъп до непубликувани лекционни записки и ръкописи, силно повлияли върху окончателния облик на тази книга. Изказван също така най-сърдечни благодарности на колегите си от Математическия отдел на Северозападния универ­ситет, които ми осигуриха възможността да чета този курс по начина, по който възнамерявах^ и непрекъснато ме насърчаваха с конструк­тивната си критика.

Жан Дийодоне
Април, 1960 г.                                                                                                 

-------------------------

* Тази книга е само първият том на един четиритомен трактат по съвременен ма­тематически анализ, от който засега са публикувани само първите два тома — Бел. ред.

** Съответствуващ на трета година от специалност математика на Математическия факултет — Бел. ред.

*** За българското издание е преведено допълнението на автора към френското издание, посветено изцяло на линейната алгебра. — Бел. ред.