ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава 1. Основные сведения из линейной алгебры 7
§ 1. Матрицы 7
§ 2. Матрицы специального вида 33
§ 3. Аксиомы линейного пространства 41
§ 4. Базис и координаты 45
§ 5. Подпространства 50
§ 6. Линейные операторы 58
§ 7. Каноническая форма Жордана 71
§ 8. Строение инвариантных подпространств 85
§ 9. Ортогональность векторов и подпространств 87
§ 10. Линейные операторы в унитарном пространстве и эвклидовом пространстве 94
§ 11. Самосопряженный оператор 99
§ 12. Квадратичные формы 111
§ 13. Понятие предела в линейной алгебре 117
§ 14. Градиент функционала 134
Глава II. Точные методы решения систем линейных уравнений . 137
§ 15. Обусловленность матриц 138
§ 16. Метод Гаусса 147
§ 17. Вычисление определителей 157
§ 18. Компактные схемы для решения неоднородной линейной системы 160
§ 19. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители 162
§ 20. Метод квадратных корней 165
§ 21. Обращение матрицы 168
§ 22. Задача исключения 172
§ 23. Исправление элементов обратной матрицы 182
§ 24. Обращение матрицы при помощи разбиения на клетки . . . 184
§ 25. Метод окаймления 187
§ 26. Эскалаторный метод 192
§ 27. Метод Перселла 195
§ 28. Метод пополнения для обращения матрицы 198
Глава III. Итерационные методы решения систем линейных уравнений 204
§ 29. Принципы построения итерационных процессов 204
§ 30. Метод последовательных приближений 207
§ 31. Подготовка системы линейных уравнений к виду, удобному для применения метода последовательных приближений. Метод простой итерации 214
§ 32. Одношаговый циклический процесс 220
§ 33. Метод П. А. Некрасова 226
§ 34. Методы полной релаксации 230
§ 35. Неполная релаксация 232
§ 36. Исследование итерационных методов для систем с квазитрехдиагональными матрицами 237
§ 37. Теорема сходимости 244
§ 38. Управление релаксацией 248
§ 39. Релаксация по длине вектора невязки 253
§ 40. Групповая релаксация 254
Глава IV. Полная проблема собственных значений 257
§ 41. Устойчивость проблемы собственных значений 259
§ 42. Метод А. Н. Крылова 263
§ 43. Определение собственных векторов по методу А. Н. Крылова 271
§ 44. Метод Хессенберга 273
§ 45. Метод Самуэльсона 280
§ 46. Метод А. М. Данилевского 285
§ 47. Метод Леверье и видоизменение Д. К. Фаддеева 295
§ 48. Эскалаторный метод 300
§ 49. Метод интерполяции 308
§ 50. Метод ортогонализации последовательных итераций .314
§ 51. Преобразование симметричной матрицы к трехдиагональному виду посредством вращений 317
§ 52. Уточнение полной проблемы собственных значений 324
Глава V. Частичная проблема собственных значений 328
§ 53. Определение наибольшего по модулю собственного значения матрицы при помощи последовательных итераций 329
§ 54. Ускорение сходимости степенного метода 346
§ 55. Модификации степенного метода 352
§ 56. Применение степенного метода к отысканию нескольких собственных значений 355
§ 57. Ступенчатый степенной метод 358
§ 58. Метод Х-разности 367
§ 59. Метод исчерпывания 370
§ 61 Метод понижения 375
§ 61. Координатная релаксация 378
§ 62. Уточнение отдельного собственного значения и принадлежащего ему собственного вектора 386
Глава VI. Метод минимальных итераций и другие методы, основанные на идее ортогонализации 392
§ 63. Метод минимальных итераций 392
§ 64. Биортогональный алгорифм 404
§ 65. Метод А-минимальных итераций 416
§ 66. А-биортогональный алгорифм 425
§ 67. Двучленные формулы метода минимальных итераций и биортогонального алгорифма 427
§ 68. Методы сопряженных направлений и их общие свойства . . 433
§ 69. Некоторые методы сопряженных направлений 437
Глава VII. Градиентные итерационные методы 455
§ 70. Метод наискорейшего спуска для решения линейных систем 456
§ 71. Градиентный метод с минимальными невязками 465
§ 72. Градиентные методы с неполной релаксацией 466
§ 73. «-шаговые градиентные методы наискорейшего спуска . . . 472
§ 74. Определение алгебраически наибольшего собственного значения симметричной матрицы и принадлежащего ему собственного вектора градиентными методами 480
§ 75. Решение частичной проблемы собственных значений с помощью полиномов Ланцоша 494
§ 76. «-шаговый метод наискорейшего спуска 498
Глава VIII. Итерационные методы для решения полной проблемы собственных значений 508
§ 77. Алгорифм деления и вычитания 508
§ 78. Треугольный степенной метод 524
§ 79. Л/?-алгорифм 530
§ 80. АР-алгорифм 533
§ 81. Итерационные процессы, основанные на применении вращений 536
§ 82. Решение полной проблемы собственных значений при помощи спектрального анализа последовательных итераций 547
Глава IX. Универсальные алгорифмы 553
§ 83. Общая идея подавления компонент 554
§ 84. Прием Л. А. Люстерника для ускорения сходимости метода последовательных приближений при решении системы линейных уравнений 557
§ 85. Подавление компонент при помощи полиномов низших степеней 559
§ 86. Различные формы проведения универсальных алгорифмов . 563
§ 87. Универсальный алгорифм, наилучший в смысле первого критерия 567
§ 88. Универсальный алгорифм, наилучший в смысле второго критерия 570
§ 89. Прием А. А. Абрамова для ускорения сходимости метода последовательных приближений при решении систем линейных уравнений 572
§ 90. В7'-процессы 574
§ 91. Общие трехчленные итерационные процессы 577
§ 92. Универсальный алгорифм Ланцоша 582
§ 93. Универсальные алгорифмы, наилучшие в среднем 586
§ 94. Метод подавления компонент в комплексной области . . . 589
§ 95. Применение конформного отображения к решению линейных систем 591
§ 96. Примеры 5-универсальных алгорифмов 599
§ 97. Метод конформного отображения в применении к неподготовленной системе 603
§ 98. Применение идеи подавления компонент к решению частичной проблемы собственных значений 609
§ 99. Применение конформного отображения к решению частичной проблемы собственных значений 610
Заключение 612
Дополнение 615
Литература 617
Дополнительная литература 654
**
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена изложению вычислительных методов для решения основных задач линейной алгебры.
Этими задачами являются решение системы линейных уравнений, обращение матрицы, решение полной и частичной проблем собственных значений.
Огромное количество численных методов решения этих задач, появившихся главным образом в последние годы, поставило авторов перед необходимостью попытки их систематизации и изложения с некоторых общих точек зрения. При этом авторы старались строить изложение не выходя за области понятий линейной алгебры в той мере, в какой это было возможно. Так, например, авторы сознательно исключили использование теории непрерывных дробей, заменив ее теорией ортогональных полиномов, в которой, в свою очередь, ортогональность понимается в линейно-алгебраическом смысле.
В книге почти не затрагивается важный вопрос о влиянии ошибок округления на результат вычислений.
Первая глава книги носит вводный характер. Остальные восемь глав посвящены изложению вычислительных методов. Материал этих глав частично был освещен в книге В. Н. Фаддеевой, вышедшей в 1950 г. под тем же названием.
В конце книги приложены библиография по вычислительным методам линейной алгебры и вопросам оценки и распределения собственных значений матрицы. При ее составлении существенную помощь оказали авторам И. А. Лифшнц и Р. С. Александрова. Авторы приносят им свою благодарность.
Рукопись книги была прочитана В. Н. Кублановской, сделавшей ряд ценных замечаний. Авторы приносят ей глубокую благодарность. Авторы благодарят также редактора книги Г. П. Акилова и всех своих товарищей, проявивших интерес к их работе.
