Оригинално заглавие:
Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering by Prof. RNDr Karel Rektorys, DrSc, Second edition
*
АННОТАЦИЯ
Монография известного чешского математика, содержащая обстоятельное и доступное изложение вариационных методов и их приложений в прикладных науках. Книга выходила на чешском языке, дважды — на английском, переведена на немецкий. Она пользуется большим успехом у специалистов.
Для математиков, инженеров, механиков, физиков, а также для преподавателей и студентов вузов.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
(с много грешки от сканирането на математическите символи)
От редакторов перевода 5
Предисловие 6
Глава 1 Введение 9
Часть I. Гильбертово пространство И
Глава 2. Скалярное произведение функций. Норма, метрика .... 14
Глава 3. Пространство Ьг 24
Глава 4. Сходимость в пространстве Т2 (0) (сходимость в среднем). Полное пространство. Сепарабельное пространство 30
а) Сходимость в пространстве Ц (б) 30
б) Полнота 34
в) Плотность. Сепарабельность . . 36
Глава 5. Ортогональные системы в Т2 (О) 39
а) Линейная зависимость и независимость в Г2 (0) . 39
б) Ортогональные и ортонормированные системы и Т2 (О) .... 43
в) Ряд Фурье. Полные системы. Ортонормирование по Шмидту 46
г) Разложение Т2 (О) на ортогональные подпространства .... 55
д) Некоторые свойства скалярного произведения 57
Глава 6. Гильбертово пространство 59
а) Предгильбертово пространство. Гильбертово пространство ... 59
б) Линейная зависимость и независимость в гильбертовом пространстве. Ортогональные системы, ряды Фурье 68
в) Ортогональные подпространства. Некоторые свойства скалярного произведения . , 72
г) Комплексное гильбертово пространство 73
Глава 7. Некоторые замечания к предыдущим главам. Нормированное пространство, банахово пространство 75
Глава 8. Операторы и функционалы, в частности, в гильбертовых пространствах 80
а) Операторы в гильбертовом пространстве 81
б) Симметричные, положительные и положительно определенные операторы. Теоремы о плотности 91
в) Функционалы. Теорема Рисса 104
Часть II. Вариационные методы ' .... 109
Глава 9. Теорема о минимуме квадратичного функционала и ее следствия 109
Глава 10. Пространство НА 117
Глава 11. Существование минимума функционала Р в пространстве Нл. Обобщенные решения , 130
Глава 12. Метод ортонормированных рядов. Пример 145
Глава 13. Метод Ритца 151
Глава 14. Метод Галёркина 160
Глава 15. Метод наименьших квадратов. Метод Куранта 165
Глава 16. Метод наибыстрейшего спуска. Пример 170
Глава 17. Итоги глав с 9 по 16 , 176
Часть III. Применение вариационных методов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных 186
Глава 18. Неравенство Фридрихса. Неравенство Пуанкаре 186
Глава 19. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 197
а) Уравнения второго порядка 197
б) Уравнения высших порядков 220
Глава 20. Проблема выбора базиса 224
а) Общие принципы 224
б) Выбор базиса для обыкновенных дифференциальных уравнений 236
Глава 21. Численные примеры. Обыкновенные дифференциальные уравнения 239
Глава 22. Краевые задачи4 для уравнений в частных производных второго порядка 256
Глава 23. Бигармонический оператор. (Уравнения пластин и оболочек) 269
Глава 24. Операторы математической теории упругости 278
Глава 25. Выбор базиса в случае краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных 287
Глава 26. Численные примеры. Дифференциальные уравнения в частных производных 294
Глава 27. Краткое содержание глав 18—26 . 307
Часть IV. Теория краевых задач для дифференциальных уравнений, основанная на идее слабого решения и на теореме Лакса — Мильграма 314
Глава 28. Интеграл Лебега; области, имеющие границу Липшица 315
Глава 29. Пространство Н^*' (О) ...... 330
Глава 30. Следы функций из пространства П^*' (О). Пространство №2" (0). Обобщенные неравенства Фридрихса и Пуанкаре 340
Глава 31. Эллиптические дифференциальные операторы порядка 2к. Слабые решения эллиптических уравнений 347
Глава 32. Формулировка краевых задач 357
а) Устойчивые и неустойчивые граничные условия 357
б) Слабое решение краевой задачи. Частные случаи 361
в) Определение слабого решения краевой задачи. Общий случай 369
Глава 33. Существование слабого решения краевой задачи. Р-эллиптичность. Теоремы Лакса—Мильграма 386
Глава 34. Приложение прямых вариационных методов для приближенного построения слабого решения 401
а) Однородные граничные условия 402
б) Неоднородные граничные условия 411
в) Метод наименьших квадратов 417
Глава 35. Задача Неймана для уравнений порядка 2к (случай, когда форма ((г, и)) не является Р-эллиптической) 419
Глава 36. Резюме и некоторые замечания к главам 28—35 438
Часть V. Задача на собственные значения 446
Глава 37. Введение 446
Глава 38. Вполне непрерывные операторы 4Е0
Глава 39. Задача на собственные значения для дифференциальных операторов 469
Глава 40. Метод Ритца в задаче на собственные значения 485
а) Метод Ритца ' 485
б) Задача оценки ошибки 494
Глава 41. Численные примеры 504
Часть VI. Некоторые специальные методы. Регулярность слабого решения 512
Глава 42. Метод конечных элементов 512
Глава 43. Метод наименьших квадратов на границе для бигармони-ческого уравнения. Метод Треффтца решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа 521
а) Первая краевая задача для бигармонического уравнения (задача о пластинах и оболочках) 522
б) Понятие метода наименьших квадратов на границе 525
в) Сходимость метода 528
г) Метод Треффтца 533
Глава 44. Метод ортогональных проекций 535
Глава 45. Применение метода Ритца к решению параболических краевых задач 545
Глава 46. Регулярность слабого решения, выполнение заданного уравнения и граничных условий в классическом смысле. Существование функции и) ^ 1^2° (О), удовлетворяющей заданным граничным условиям 557
а) Гладкость слабого решения 557
б) Существование функции по ^ №2" (О), удовлетворяющей заданным граничным условиям 562
Глава 47. Заключительные замечания, перспективы предложенной теории 563
Таблица для построения наиболее распространенных функционалов и систем уравнений Ритца 566
Литература 578
Список обозначений 580
Предметный указатель 582
***
От редакторов перевода
Задачи математической физики, допускающие вариационную постановку, позволяют максимально ослабить математические ограничения, накладываемые на разыскиваемое решение, а также строить априори устойчивые разностные схемы для их численной реализации. Вариационное исчисление лежит у истоков теории оптимального управления и оптимального проектирования конструкций. Поэтому так велика популярность вариационных методов в механике, физике и инженерных расчетах. Математические результаты, полученные в этом направлении, быстро принимаются на вооружение прикладниками.
Именно этим можно объяснить возрастающую потребность в книгах по вариационному исчислению, хотя таких книг не так уж мало издано у нас в стране как для математиков, так и для инженеров.
Предлагаемая советскому читателю книга К. Рекгориса вышла в свет в 1974 г. на чешском языке. В 1975 г. она была переведена на английский, а в 1983 г.— на немецкий языки. В 1979 г. книга была отмечена Национальной премией ЧССР.
Возможно, советскому читателю покажется несколько необычной манера изложения автора. На наш взгляд, он в некоторых местах излишне подробно излагает не очень сложные понятия, не избегая частых повторений. Впрочем, эта манера некоторым читателям придется по душе: ведь бытует же мнение, что чем толще книга по математике, тем быстрее ее удается прочесть.
Мы благодарны автору за личные контакты с нами, которые облегчили работу по переводу, и надеемся, что книга принесет несомненную пользу широкому кругу советских читателей, как прикладникам-потребителям, так и «чистым» математикам.
Заметим также, что в книге не освещены некоторые важные проблемы вариационного исчисления, связанные, например, с теорией локальных потенциалов (см Р. Шехтер. Вариационный метод в инженерных расчетах.— М.: Мир, 1971), которая приобретает важное значение в связи с так называемой «новой» постановкой квазистатической задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях и связанным с ней новым вариационным принципом (Б. Е. Победря. Численные методы в теории упругости и пластичности.— Мл Изд-во Моск. ун-та, 1981).
Мы надеемся, что настоящая книга послужит стимулом для исследования этой и многих других интересных проблем вариационного исчисления.
К. И. Бабенко Б. Е. Победря
