Существующие справочники, рассчитанные на инженеров и студентов, не содержат сведений по вариационному исчислению и интегральным уравнениям. Между тем эти разделы высшей математики широко используются в исследовательской работе и вошли уже в число математических дисциплин, изучаемых в ряде технических учебных заведений. Данное справочное руководство имеет своей целью восполнить указанный пробел.
Книга содержит основные сведения из вариационного исчисления и теории интегральных уравнений и их приложений к некоторым вопросам механики и математической физики. Даются также краткие сведения о принципе максимума Л. С Понтрягина, принципе оптимальности Р. Беллмана и др. Отдельные положении теории ПОЯСНЯЮТСЯ примерами и решениями задач.
Предлагаемое издание содержит ряд дополнений по сравнению с предыдущим: необходимые и достаточные условия экстремума в разрывных задачах с подвижными концами в пространстве, сведения из теории экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах, экстремальные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля и др.
Книга предназначается для инженеров, экономистов, а также для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 8
Предисловие к первому изданию 9
Глава I. Вариационное исчисление 11
§ 0. Введение 11
1.0.1. Функционал (II). 1.0.2. Предмет вариационного ис-чисдення (II). 1.0.3. Некоторые определения и обозначения (12).
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления.
Необходимые условия экстремума 14
1.1.1. Постановка задачи (14). 1.1.2. Первая и вторая вариации функционала (14). 1.1.3. Первое необходимое условие экстремума. Дифференциальное уравнение Эйлера— Лагранжа. Экстремали (16). 1.1.4. Регулярные (или неособенные) экстремали (16). 1.1.5. Случаи понижения поядка уравнения Эйлера—Лагранжа (17). 1Л.6. Условия ейерштрасса—Эрдмана. Ломаные экстремали (18). 1.1.7. Второе необходимое условие экстремума — условие Лежаидра (18). 1.1.8. Третье необходимое условие экстремума — условие Вейерштрасса (19). 1.1.9. Четвертое необходимое условие экстремума — условие Якоби (19). 1.1Л0. Инвариантность уравнения Эйлера —Лагранжа (20).
§ 2. Вариационные задачи с подвижными концами . . 20
1.2.1. Постановка задачи (20). 1.2.2. Вспомогательная формула (21). 1.2.3. Условие трансверсальности (22). 1.2.4. Трансверсальность и ортогональность (23).
§ 3. Необходимые условия экстремума для функционала, зависящего от нескольких функций .... 23
1.3.1. Постановка задачи (23). 1.3.2. Первое необходимое условие экстремума. Уравнения Эйлера—Лагранжа. Экстремали (24). 1.3.3. Условия Вейерштрасса—Эрдмана. Ломаные экстремали (24). 1.3.4. Второе необходимое условие экстремума — условие Лежаидра (24). 1.3.5. Третье необходимое условие экстремума—условие Вейерштрасса (25). 1.3.6. Четвертое необходимое условие экстремума—условие Якоби (25). 1.3.7. Условие трансверсальности (25).
§ 4. Необходимые условия экстремума функционала, содержащего производные высших порядков . . 26
1.4.1. Постановка задачи (26). 1.4.2. Первое необходимое условие экстремума. Дифференциальное уравнение Эйлера-Пуассона. Экстремали (26). 1.4.3. Случаи понижения по-рядка уравнения Эйлера- Пуассона (27). 1.4.4. Сведение рассматриваемой задачи к задаче на условный экстремум. Дальнейшие необходимые условия (27). 1.4.5. Условие трансверсальности (28).
§ 5. Вариационные задачи в параметрической форме 29
1.5.1. Параметрическое задание линий (29). 1.5.2. Функционалы от линий. Сильные и слабые окрестности (29), 1.5 3. Первое необходимое условие экстремума. Уравнения Эйлера — Лагранжа (30). 1.5.4. Вейерштрассова форма уравнений Эйлера—Лагранжа. Экстремали (31). 1.5.5. Условие Вейерштрасса — Эрдмана (31). 1.5.6. Второе необходимое условие экстремума (аналог условия Лежаидра) (32). 1.5.7. Третье необходимое условие экстремума—условие Вейерштрасса (32). 1.5.8. Четвертое необходимое условие экстремума — условие Якоби (33). 1.5.9. Условия трансверсальности (33).
§ 6. Разрывные задачи. Односторонние экстремумы 34
1.6.1. Разрывные задачи первого рода для простейшего функционала (34). 1.6.2. Разрывные задачи второго рода (35). 1.6.3. Разрывные задачи для функционала, зависящего от нескольких функций (36). 1.6.4. Разрывные задачи с подвижными концами в пространстве [37). 1.6.5. Односторонние экстремумы (39).
§ 7. Канонические уравнения. Теория Гамильтона— Якоби 41
1.7.1. Каноническая или гаммльтонова форма уравнений Эйлера (41). 1.7.2. Первые интегралы канонической системы (42). 1.7.3. Теорема Э. Нётер (43). 1.7.4. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби (44). 1.7.5. Канонические преобразования (45).
§ 8. Некоторые сведения из теории ноля экстремалей 46
1.8.1. Геодезическое расстояние и его производные (46). 1.8.2. Поле экстремалей (48). 1.8.3. Выражение геодезического расстояния между двумя точками через инвариантный интеграл Гильберта (48). 1.8.4. Другие определения поля (56). 1.8.5. Условия Лежаидра и Якоби включения экстре-
мали функционала У (у) = | р (х, ул \<т у'у ... , у 'п) Лх в поле (50). 1.8.6. Построение полей экстремален для некоторых вариационных задач с подвижными концами (51). 1.8.7. Определение поля для вариационных задач в параметрической форме (52).
§ 9. Достаточные условия экстремума 52
1.9.1. Достаточное условие Вейерштрасса (52). 1.9.2. Упрощенное достаточное условие сильного экстремума (55).
1.9.3. Достаточные условия сильного экстремума - в задачах с подвижными концами (55). 1.9.4. Достаточные условия. Слабого экстремума функционала, зависящего от нескольких функций (56). 1.9.5. Достаточные условия экстремума для вариационных задач в параметрической форме (57].
§ 10. Вариационные задачи с частными производными 58
1.10.1. Первое необходимое условие. Уравнение Эйлера — Остроградского (58). 1.10.2. Инвариантность уравнения Эйлера—Остроградского (59). 1.16.3. Второе необходимое условие для экстремума двойного интеграла (аналог условия Лежаидра) (59). 1.10.4. Вариация функционала с перемен-нон областью интегрирования (60). 1.10.5. Инвариантные вариационные задачи. Теорема Э. Нётер (61). 1.10.6. Разрывная задача первого рода (62).
§ 11. Вариационные задачи на условный экстремум 64
1111 Изопериметрическая задача (64). 1Л1.2. Правило множителей (65). 1.11.3. Условия трансверсальности (66). 1114 Необходимое условие Клебша (67). 1.11.5. Необходимое условие Якоби (67). 1.11.6. Достаточные условия экстремума в изопериметрической задаче (69). 1.11.7. Задачи Лагранжа, Манера и Больца (69). 1.11.8. Связь задач изопериметрической. Лагранжа, Майера и Больца (73). 1 11 9 Правило множителей для задач Лагранжа, Манера и Больца (74). 1.11.10. Условия трансверсальности (76). [ПИ Необходимые условия экстремума Вейерштрасса и Клебша (76). 1.11.12. Вторая вариация в задаче Больца (77) 1 11.13. Присоединенная или акцессорная задача Больца (77). 1.11.14. Достаточные условия сильного отно-сительного минимума (78). 1.11.16. Условие Якоби положительной определенности второй вариации (79).
§ 12. Оптимальные принципы 79
1.12.1. Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи (79). 1.12.2. Формулировка принципа максимума (81). 1.12.3. Принцип максимума и вариационное исчисление (82). 1 12 4 Принцип оптимальности Беллмана (динамическое программирование) (84). 1.12.5. Вариационное исчисление и принцип оптимальности Беллмана (85). 1.12.6. Связь динамического программирования с задачами условного экстремума и принципом максимума (86).
§ 13. Линейное программирование 88
113 1. Постановка задачи (88). 1.13.2. Геометрическая интерпретация (88). 1.13.3. Симплекс-метод (89). 1.13.4. Связь с динамическим программированием (90).
§ 14. Прямые методы вариационного исчисления ... 91
1 14 1. Постановка задачи (91). 1.14.2. Метод Ритца. Примеры (92). 1.14.3. Метод конечных разностей (96).
§ 15. Некоторые сведения из теории экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах 97
1 15 1 Линейные нормированные пространства (97). 1.15.2. Фактор-пространство (98). 1.15.3. Линейные функционалы (98). 1.15.4. Билинейные и квадратичные функционалы (99). I 15 5. Дифференцируемые функционалы (99). 1.15.6. Второй дифференциал функционала (161). 1.15.7. Необходимые условия экстремума (161). 1.15.8. Достаточные условия экстре-мума (102) 1.15.9. Изопериметрическая задача. Правило множителей (202). 1.15.10. Общая задача па условный экстремум (103).
Глава II. Интегральные уравнения 105
§ 0. Введение 105
20 1 Определение. Примеры (105). 2.0.2. Классификация интегральных уравнений (107). 2.0.3. Сведения об интеграле Лебега (108). 2.0.4. Последовательности и ряды ортогональных функций (112).
§ 1. Интегральные уравнения Вольтерра 114
2 1.1. Теоремы существования и единственности (114). 2.1.2. Метод последовательных приближений (114). 2.1.3. Связь уравнения Вольтерра с дифференциальными уравнениями (116), 2.1.4. Уравнения Вольтерра первого рода (116).
§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода ..... 117
2.2.1. Теоремы существования н единственности решения (117). 2.2.2. Метод последовательных приближений (118). 2.2.3. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром (119). 2.2.4. Аппроксимации невырожденного ядра вырожденным (120). 2.2.6. Теоремы Фредгольма (122).
§ 3. Симметричные интегральные уравнения 123
2.3.1. Существование характеристического числа (123). 2,3.2. Ортогональность собственных функций (123). 2.3.3. Действительность характеристических чисел (124). 2.3.4. Ортогонали-зация собственных функций (125). 2.3.5. Количество собственных функций, соответствующих характеристическому числу, и распределение характеристических чисел (126). 2.3.6. Билинейная формула (127). 2.3.7. Теорема Гильберта—Шмидта (129). 2.3.8. Билинейные ряды итерированных ядер (129). 2.3.9. Решение неоднородного уравнения (130). 2.3.10. Альтернатива Фредгольма для симметричных интегральных уравнений (131). 2.3.11. Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций (13!).
§ 4. Интегральные преобразования и интегральные уравнения 133
2.4.1. Преобразование Фурье (133). 2.4.2. Преобразование Лапласа (136).
§ 5. Уравнения Фредгольма первою рода 138
2.5.1. Теорема Пикара (138). 2.5.2. Метод последовательных приближений (138). 2.5.3. Решение некоторых интегральных уравнений первого рода (139).
§ 6. Приближенные методы решения интегральных уравнений 140
2.6.1. Метод последовательных приближений решения уравнения Фредгольма второго рода (140). 2.6.2. Метод механических квадратур (НО). 2.6.3. Метод наименьших квадратов и метод Галёркина (141). 2.6.4. Формулы для отыскания характеристических чисел (142).
§ 7. Некоторые нелинейные интегральные уравнения 143
2.7.1. Нелинейные уравнения Вольтерра (143). 2.7.2. Уравнения типа Гаммерштейна (143). 2.7.3. Бифуркация решений (144).
§ 8. Сингулярные интегральные уравнения 145
2.8.1. Главное значение несобственного интеграла (143). 2.8.2. Преобразование Гильберта — М. Рисса (146). 2.8.3. Сингулярное интегральное уравнение Гильберта (1-17). 2.8.4. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Кошм (148).
Глава III. Некоторые приложения вариационного исчисления и интегральных уравнений 149
§ 0. Введение 149
3.0.1. Содержание главы (149).
§ 1. Задачи о геодезических 149
3.1.1. Задача о геодезических в трехмерном евклидовом пространстве (149). 3.1.2. Отыскание геодезических в случае, когда поверхность задана параметрическими уравнениями (151). 3.1.3. Отыскание геодезических на римановых многообразиях (152).
§ 2. Вариациониные принципы механики 153
3.2.1, Принцип Гамильтона—Остроградского (153). 3.2.2. Принцип наименьшего действия в фоомс Лагранжа и Якоби (156). 3.2.3. Принцип наименьшего действия и его связь с теорией геодезических (157), 3.2.4. Вывод уравнения малых колебаний струны (157). 3.2.5. Вывод уравнения колебаний мембраны (159). 3.2.6. Выпод уравнения колебаний стержня, заделанного на концах (160).
§ 3. Задача Штурма—Лиувилля 161
3.3.1. Постановка задачи (161). 3.3.2. Задача Штурма—Лиувилля (162). 3.3.3. Формула Грина. Самосопряженные краевые задачи (163). 3.3.4. Функция Грина самосопряженной краевой задачи Штурма—Лиувилля (164). 3.3.5. Тео_рема Гильберта (167). 3.3.6. Эквивалентность самосопряженной задачи Штур-ма—Лиувилля симметричному интегральному уравнению (167). 3.3.7. Свойства собственных значений и собственных функций самосопряженной задачи Штурма—Лиувилля (168). 3.3.8. Знак собственных значений (169). 3.3.9. Неоднородная краевая задача (170). 3.3.10. Обобщенная функция Грина (1/0), 3.3,11. Экстремальные свойства собственных значений и собственных функций (173). 3.3.12. Метод Рптца (176). 3.3.13. Теория Якоби второй вариации в простейшей задаче вариационное» исчисления (179).
Литература 181
Предметный указатель 185
