Монография западногерманского ученого, посвященная новому направлению теории вероятностей, в котором в последние годы достигнуты значительные успехи. Описан класс безгранично делимых распределений, построены соответствующие предельные теоремы.
Для специалистов по теории вероятностей и математической статистике, для математиков-прикладников и физиков-теоретиков, использующих вероятностные методы, для аспирантов и студентов.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Введение 9
Предварительные сведения. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 15
Ссылки и комментарии 29
Глава 1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ГРУПП 31
1.1. Меры на локально компактном пространстве 31
1.2. Свертка мер на локально компактной группе 47
1.3. Преобразование Фурье ограниченных мер 67
1.4. Теоремы Леви и Бохнера 79
1.5. Сверточные полугруппы и неотрицательно определенные формы 90
Ссылки и комментарии 109
Глава 2. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СВЕРТОК ВРОЯТНОСТНЫХ МЕР 122
2.1. n-кратные свертки на компактной группе 123
2.2. Эквивалентность типов сходимости 133
2.3. Свойство нормированной сходимости 145
2.4. Сходимость в среднем квадратичном 162
2.5. Асимптотическая равнораспределенность 179
2.6. Сдвиги итерированных сверток 193
Ссылки и комментарии 208
Глава 3. ВЛОЖЕНИЕ БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 222
3.1. Корне-компактные группы 223
3.2. Меры Пуассона и их характеризации 245
3.3. Субмоногенное вложение безгранично делимых мер .... 260
3.4. Существование однопараметрических полугрупп 273
3.5. Общее непрерывное вложение 289
3.6. Инъективные субмоногенные вложения 299
Ссылки и комментарии 316
Глава 4. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СВЕРТОЧНЫХ ПОЛУГРУПП 329
4.1. Положительные полугруппы и их порождающие функционалы 330
4.2. Теорема Ханта о представлении 342
4.3. Формула Леви —Хинчина для почта периодических групп 355
4.4. Каноническое представление почти положительных функционалов 374
4.5. Формула Леви —Хинчина для произвольных локально компактных групп 396
4.6. Сверточные хемигруппы. Построение и представление . . 406
Ссылки и комментарии 427
Глава 5. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА В АБЕЛЕВОМ СЛУЧАЕ 442
5.1. Сходимость инфинитезимальных систем 443
5.2. Гауссовские меры в смысле Партасарати 460
5.3. Гауссовские меры в смысле Бернштейна 476
5.4. Сходимость к гауссовским мерам 483
5.5. Симметричные гауссовские полугруппы 489
5.6. Аддитивные процессы и их разложения 498
Ссылки и комментарии 526
Глава 6. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 537
6.1. Пуассоновское вложение и аппроксимация 538
6.2. Гауссовские меры и их характеризации 560
6.3. Абсолютно непрерывные и диффузионные гауссовские полугруппы 585
6.4. Центральные гауссовские полугруппы 606
6.5. Сходимость треугольных систем вероятностных мер .... 619
6.6. Центральные предельные еоремы для вполне несвязных групп 634
Ссылки и комментарии 649
Список литературы 662
Указатель обозначений 687
Именной указатель 692
Предметный указатель , 696
***
...вероятности на алгебраических структурах — новая и волнующая тема
Пьер Лелон
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы вероятностные меры на алгебраико-топологических структурах, таких, как топологические полугруппы, группы и векторные пространства, приобрели возросшее значение как для специалистов по теории вероятностей, интересующихся структурными аспектами теории, так и для аналитиков, занимающихся приложениями в области теории вероятностей. Чтобы получить естественные границы для первого систематического изложения результатов наиболее развитых исследований в рассматриваемой области, ограничимся рассмотрением вероятностных мер на локально компактных группах. В то же время мы подчеркиваем неабелев аспект. Таким образом, эта книга касается ряда проблем, которые могут рассматриваться либо с вероятностной точки зрения, либо с точки зрения гармонического анализа. По-видимому, именно синтез этих двух точек зрения, вдохновение, навеянное теорией вероятностей, и утонченная техника гармонического анализа делают этот новый предмет таким захватывающим.
Цель книги состоит в том, чтобы достаточно полно исследовать центральную предельную проблему для вероятностных мер на локально компактной группе. По аналогии с классической теорией обсуждение сконцентрировано вокруг безгранично делимых вероятностных мер на группе и их связи со сходимостью инфинитезимальных треугольных систем. В частности, мы придаем особое значение задаче вложения безгранично делимых вероятностных мер в непрерывные сверточные полугруппы (гл. 3), каноническим представлениям непрерывных сверточных полугрупп в смысл Леви и Хинчина (гл. 4) и роли гауссовского распределения з связи с центральными предельными теоремами (гл. 5 и 6). Чтобы сделать эту книгу почти замкнутей в себе, первые две главы посвящены общим вопросам гармонического анализа почти ,-риодических локально компактных групп (гл. 1) и элементарной теории сходимости последовательностей сверток вероятностных мер на группе (гл. 2). Предварительные сведения по почти периодическим локально компактным группам предназначены для того, чтобы собрать основные факты и обозначения, касающиеся общих юкально компактных групп, групп Ли, почти периодических юкально компактных групп, и с дополнительной целью —сформулировать основные структурные теоремы для локально компактных групп, поскольку они используются во всей книге.
Изложение охватывает далеко не всю теорию вероятностей на локально компактных группах. Исключены некоторые интересные направления. Упомянем теорию случайных блужданий на группах и ее приложения в граничной теории и теории потенциала (например, работы Ферстенберга, Азенкотта и соответственно Берга, Форста), а также общую теорию аддитивных процессов со значениями в группах Ли, начало которой недавно положено Струком, Варадханом и Фейнсилвером.
Эта книга дополняет незаменимые монографии Гренандера [182] и Партасарати [377] и основывается на достижениях теории, которые, как это доказано исследованиями, выполненными за последние десять лет, являются вехами дальнейшего развития.
Метод, примененный при обсуждении центральной предельной проблемы в общем случае, основан частично на теории представлений и частично —на теории операторов. В рамках теории конечномерных представлений мы можем получить результаты, которые справедливы для всех почти периодических локально компактных групп. Средства теории операторов позволяют нам распространить часть этой теории на произвольные локально компактные группы, основываясь на решении пятой проблемы Гильберта.
Хотя основной текст книги является избирательным, ссылки и комментарии, добавленные к каждой главе, и список литературы содержат столько информации, сколько можно было собрать для полного описания проблем. Естественно, здесь будут недостатки и пропуски; мы просим читателя допустить возможность ошибок со стороны автора и сообщить нам свои замечания.
Автор воспользовался работой и комментариями некоторых коллег. Эгберт Деттвелер, Вильфрид Хацод и Эбергарт Зиберт изучили части рукописи и предложили многочисленные улучшения. Вальтер Максонес проверил окончательный вариант рукописи, сделал важные критические замечания, позаботился о предметном указателе. Томас Барт и Эгберт Деттвелер принимали участие в чтении корректур. Всем им автор выражает сердечную благодарность.
Приглашение автору написать эту книгу исходило от Рейнгольда Реммерта. Его инициатива заслуживает особой благодарности. Мы также благодарны ОеиНсЬе ЕогзсЬип^здететзсЬаП за финансовую поддержку, предоставленную Томасу Барту, Вильфриду Хацоду, Вальтеру Максонесу, и КиПиггшшз1епит без Ёапбез Вабеп — и-'йгПетЬегй за свободный от учебной нагрузки семестр, благодаря чему автор мог начать работу над рукописью в благоприятных условиях.
Наконец, автор благодарен издательству 8рпп§ег и его сотрудникам за исключительное содействие в процессе создания книги.
Херберт Хейер, Тюбинген
сентябрь 1977
