В учебника "Висша математика. Част III", е продължено излагането на основите на математическия анализ и по-специално: многократни интеграли, криволинейни интеграли и интеграли но повърхнина, векторен анализ, безкрайни редове, обикновени диференциални уравнения и линейни частни диференциални уравнения от първи ред. Изложението на материала е направено с необходимата строгост и едновременно с това то е свързано с редица приложения. На повечето места теоретичните разглеждания са илюстрирани с подходящи задачи и примери.

Учебникът е предназначен за студентите от ВМЕИ в София, Варна и Габрово и ВИММЕСС—Русе. Той може да се ползува и от студенти от други висши технически учебни заведения, както и от инженери, които се нуждайте своята работа от математически познания.

**

Съдържание

Глава I Многократни интеграли

§ I. Дефиниция на двоен интеграл 8
§ 2. Съществуване на двоен интеграл 10
§ 3. Свойства на двойния интеграл 12
§ 4. Троен и многократен интеграл 14
Дефиниция на троен интеграл 14
Съществуване на троен интеграл 15
Свойства на троен интеграл 16
Понятие за многократен интеграл '8
§ 5. Пресмятане на двоен и троен интеграл 18
Пресмятане на двоен интеграл ь 18
Пресмятане на троен интеграл 26
§ 6. Смяна на променливите при двоен и троен интеграл 30
Смяна на променливите при двоен интеграл 31
Смяна на променливите при троен интеграл 38
§ 7. Приложение на многократен интеграл 42
Пресмятане обем на тела 42
Лица на повърхнини 45
Приложения във физиката 53
§ 8. Несобствени многократни интеграли 56
Несобствени интеграли от неограничени функции. 56
Несобствени интеграли в неограничена област 60

Глава II Криволинейни интеграли и интеграли по повърхнина

§ 1. Криволинейни интеграли от първи род 63
§ 2. Криволинеен интеграл от втори род 69
§ 3. Формула на Грин — Гаус 76
§ 4. Интеграл по повърхнина от първи род 81
§ 5. Интеграл по повърхнина от втори род 86
§ 6. Формула на Гаус—Остроградски 91
§ 7. Формула на Стокс 95

Глава III Векторен анализ

§ 1. Функция на точка (поле) 100
§ 2. Скаларно поле. Еквипотенциални повърхнини. Градиент. 101
§ 3. Векторно поле. Силови линии 107
§ 4. Поток на векторното поле. Дивергенция 109
§ 5. Циркулация и ротация на векторно поле 116
§ 6. Оператор на Хамилтрн
§ 7. Формули на Грин 127
§ 8. Независимост на криволинеен интеграл от пътя на интегрирането. Потенциално поле 129
§ 9. Независимост на повърхнинен интеграл от повърхнината. Соленоидално поле 139'

Глава IV Редове

§ 1. Числени редове. Сходимост. Необходими условия за сходимост. Общо необходимо и достатъчно условие за сходимост 143
§ 2. Основни свойства на редовете 147
§ 3. Редове с неотрицателни членове. Теорема за сравнение 152
§ 4. Достатъчни условия (критерии) за сходимост и разходимост на редове с положителни членове
§ 5. Редове и несобствени интеграли. Интегрален критерий на Коши. Ред на Риман
§ 6. Алтернативни редове. Критерий на Лайбниц 158
§ 7. Абсолютно и не абсолютно сходящи редове. Умножение на редове 172
§ 8. Безкрайни произведения '77
§ 9. Функционални редици. Сходимост и равномерна сходимост. . . 181
§ 10. Свойства на равномерно сходящите редици 157
§ 11. Функционни редове. Сходимост и равномерна сходимост 193
§ 12. Степенни редове. Теорема на Абел. Радиус на сходимост I"7
§ 13. Основни операции със степенни редове 202
§ 14. Развитие на функции в степенни редове 206
§ 15. Развитие на елементарни функции в степенни редове 209
§ 16. Някои приложения на степенните редове 214

Глава V
Обикновени диференциални уравнения

§ 1. Обикновени диференциални уравнения: основни понятия, съставяне и приблизително решаване 217
§ 2. Диференциални уравнения с отделни променливи и приводими към тях 221
§ 3. Линейни диференциални уравнения от първи ред и приводими към тях 224
§ 4. Диференциални уравнения на Рикати 227
§ 5. Точни диференциални уравнения. Интегриращи множители.
§ 6. Решаване на диференциални уравнения чрез предварително диференциране. Уравнения на Лагранж и на Клеро. 233
§ 7. Изогонални траектории
§ 8. Някои класове диференциални уравнения от по-висок ред. 238
§ 9. Съществуване на диференциално уравнения от първи ред
§ 10. Единственост на решението при определени начални условия на диференциално уравнение от първи ред 251
§ 11. Оценка за решението у(х) и за приближенията у (х) 263
§ 12. Съществуване и единственост на решение на система от диференциални уравнения. Оценки за решението и приближенията му. 255
§ 13. Съществуване и единственост на решение на линейна система от диференциални уравнения от първи ред при краен и затворен интервал 260
§ 14. Решения на линейни системи от първи ред върху полуотворени (отворени) крайни или безкрайни интервали. Нулево решение на хомогенна система 265
§ 15. Особени точки от тип възел и от тип седло 265
§ 16. Особени точки от тип фокус и от тип център 276
§ 17. Съществуване на решение на линейно диференциално уравнение от произволен ред. Оператор Ь(у). Линейно зависими (независими) решения на хомогенно уравнение и детерминанта на Вронски. . . 278
§ 18. Общо решение на хомогенно линейно диференциално уравнение от произволен ред 284
§ 19. Линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти , 288
§ 20. Нехомогенни линейни диференциални уравнения от произволен ред. Метод на Лагранж 292
§ 21. Някои класове линейни диференциални уравнения, които се привеждат към уравнения с постоянни коефициенти 294
§ 22. Частни решения на нехомогенни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти и с дясна част от определен вид.298
§ 23. Диференциално уравнение на Бесел и функции на Бесел 301
§ 24. Хомогенни линейни системи диференциални уравнения от първи ред. Общо решение 304
§ 25. Нехомогенни линейни системи диференциални уравнения от първи ред. Общо решение 308
§ 26. Линейни хомогенни системи от диференциални уравнения от първи ред с постоянни коефициенти 310

Глава VI
Линейни частни диференциални уравнения от първи ред

§ 1. Общи понятия 322
§ 2. Функционална зависимост на функции 323
§ 3. Първи интеграл на система обикновени диференциални уравнения 326
§ 4. Връзка между линейно хомогенно частно диференциално уравнение от първи ред и система обикновени диференциални уравнения. . 329
§ 5. Линейно хомогенно частно диференциално уравнение от първи ред. Задача на Коши 331
5 6. Квазилинейно нехомогенно частно диференциално уравнение от първи ред. Задача на Коши 336

Литература 340