Висша математика. Част 4

Учебникът съдържа някои специални глави по математика, като функции на комплексна променлива, някои специални въпроси от теорията на обикновените диференциални уравнения, операционно смятане, редове на Фурие и специални функции. Тези раздели oт математиката имат важно значение за приложенията и специално за изграждането на математически модели в инженерните науки.

Учебникът е предназначен за студентите от ВМЕИ в София, Варна и Габрово и ВИМЕС в Русе. Той може да се ползува и от студенти от други висши технически учебни заведения, а така също и от инженери, които ползуват по-сложен математически апарат в своята дейност.

**

Съдържание

Глава I Функции на комплексна променлива

§ 1. Комплексни числа и множества от комплексни числа 7
§ 2. Числени редици с комплексни членове. Някои гранични преходи . . 19
§ 3. Функции на комплексната променлива. Граница. Непрекъснатост ... 23
§ 4. Функционни и степенни редове 26 .
§ 5. Елементарни функции .... 28
§ 6. Аналитични функции 35
§ 7. Свойства на аналитичните функции 46
§ 8. Конформно изображение. Основни понятия 47
§ 9. Конформно изображение. Примери 54
§ 10. Интеграли от функция на комплексна променлива 62
§ 11. Интеграли от аналитични функции. Основна теорема на Коши . . 66
§ 12. Формула на Коши. Формули за производните 72
§ 13. Теорема на Тейлор. Ред на Тейлор. Нули на аналитични функции . . 78
§ 14. Ред на Лоран, Теорема на Лоран. 1 '81
§ 15. Изолирани особени точки на аналитични функции ..." 85
§ 16. Резидууми. Основна теорема за резидуумите 91
§ 17. Приложение на резидуумите 98

Глава II
Някои специални въпроси от теорията на обикновените диференциални уравнения

I. Непрекъснатост на решение спрямо параметър и спрямо начални условия

§ 1. Непрекъснатост спрямо параметър на решение на диференциално уравнение, равномерно по независимата променлива 109 .
§ 2. Непрекъснатост спрямо параметри на решение на система от диферен¬циални уравнения, равномерно относно независимата променлива . . 116
§ 3. Непрекъснатост на решение на диференциално уравнение спрямо началните условия, равномерно относно независимата променлива .... 119
§ 4. Непрекъсната диференцуемост, рарномерно относно независимата променлива, спрямо началните условия на решение на диференциално уравнение 126
§ 5. Общ интеграл на диференциално уравнение и на система от диференциални уравнения в околността на обикновена точка 132

II. Аналитични решения на диференциални уравнения

§ 6. Двойни редове 137-
§ 7. Аналитични функции в реална област 145
§ 8 Мажоранти 143

§ 9. Аналитични решения на диференциални уравнения: методи за определяне коефициентите на съответните степенни редове 152
§10. Аналитични решения на диференциални уравнения: сходимост на решението 155
§ 11. Аналитични решения на системи от диференциални уравнения .... 160

§ 12. Аналитични решения на линейни системи от диференциални уравнения 163

§ 13. Аналитични решения на линейни диференциални уравнения от втори
ред. Обобщени степенни редове 168

III. Автономни системи от диференциални уравнения

§ 14. Съществуване и единственост на решения на автономни системи от диференциални уравнения 171
§ 15. Продължими и непродължими (оптимални) решения на автономни системи от диференциални уравнения 175
§ 16. Съществуване и съвпадане на непродължими решения на автономни системи 175
§ 17. Основни свойства на непродължими (оптимални) решения на автономни системи 180
§ 18. Основна теорема за трите възможности относно непродължимите решения на автономни системи (несамопресичащи се решения, равновесие, цикъл) 184
§ 19. Равновесни положения на автономни системи във фазовото пространство 190

IV. Устойчиви и асимптотично устойчиви решения на автономни системи от диференциални уравнения

§ 20. Оператор Ь (р) и основните му свойства 193
§ 21. Непродължими решения на уравнението Ь (р) 2=0 194
§ 22. Неравенство г ({) \ <Ме—а1Щ >0,а>0) за решенията на Ь (р)г=0 при устойчив полином Ь (р) 198
§ 23. Устойчиви и асимптотично устойчиви непродължими решения на автономни системи . 200
§ 24. Теорема за устойчивост и за асимптотична устойчивост на нулевото решение на системата х=Ах при собствени стойности (прости или многократни) с отрицателни реални части 202
§ 25. Производна на една функция спрямо I съгласно със системата х=/(х) " 208
§ 26. Положително дефинитни квадратични форми и неравенства за тях . . . 211

§ 27. Конструкция на функция на А. М. Ляпунов за системата х=Ах при собствени стойности с отрицателни реални части 213
§ 28. Основна теорема за устойчивост и за асимтотична устойчивост при системи от вида х=/(х), (/еС2 (О)), когато собствените стойности на линейната част са с отрицателни реални части 219

Глава III
Операционно смятане

§ 1. Оператор (трансформатор) на Лаплас 232
§ 2. Образ на производна и на интеграл 236
§ 3. Линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти и оператора на Лаплас 238
§ 4. Теореми за разлагането (методи за намиране на оригинала чрез неговия образ 241
§ 5. Основни теореми на операционното смятане 249
§ 6. Образ на периодични оригинали 252

Глава IV
Редове на Фурие. Интеграл на Фурие

§ 1. Периодични функции 255
§ 2. Дефиниция на редна Фурие . .* 257
§ 3. Ред на Фурие на четни и нечетни функции 260
§ 4. Ред на Фурие в произволен интервал 263
§ 5. Ред на Фурие на функции, дефинирани в интервал [0, I] само по синуси или само по косинуси '. 265
§ 6. Ред на Фурие в комплексна форма . 266
§ 7. Коефициенти на фурие при п=>+оа . . 268
§ 8. Интегрална форма за частичните суми на реда на Фурие 271
§ 9. Неравенство на Бесел 275
§ 10. Сходимост на реда на Фурие 277
§ 11. Почленно диференциране и интегриране на Фуриеров ред 282
§ 12. Интеграл на Фурие 285
§ 13. Интеграл на Фурие в комплексна форма. Тоансформация на Фурие . 289
§ 14. Задачи 295

Глава V
Специални функции

§ 1. Гама-функция 300
§ 2. Ортогонални функции 309
§ 3. Ортогонални полиноми 318
§ 4. Полиноми на Лежандър 325
§ 5. Полиноми на Ермит , 335
§ 6. Полиноми на Лагер 341
§ 7. Полиноми на Чебишев 347
§ 8. Цилиндрични функции 352
§ 9. Хипергеометрична функция 377
§ 10. Изродена хипергеометрична функция 383