Оригинално заглавие:
DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN Band 99
AN INTRODUCTION TO THE GEOMETRY OF NUMBERS by J. W. S. CASSELS
Fellow of Trinity college, Cambridge Springer-Verlag Berlin . Gottingen • Heidelberg 1959
*
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга является единственной в мировой литературе современной монографией но геометрии чисел. В геометрии чисел, основанной трудами Эрмита, Минковского и Вороного, геометрические методы систематически, с единой точки зрения, прилагаются к решению задач из различных разделов теории чисел, в первую очередь из теории диофантовых приближений. Не претендуя на энциклопедичность, монография Касселса в то же время дает достаточно полное представление о современном состоянии геометрии чисел и позволяет непосредственно включиться в исследования, интенсивно ведущиеся в этой области. Хорошим дополнением к книге Касселса (особенно в отношении библиографии) может служить обзор Келлера (Keller O. H., Geometrie der Zahlen, Enzykl. math. Wiss., Bd. I2, H.llüi, Leipzig, 1954).
Редактор и переводчики выражают большую благодарность автору этой книги проф. Касселсу за внимание и помощь в работе, в частности за любезно присланный им список погрешностей оригинала.
Введение и главы I, III — V, XI переведены И. В. Богаченко, главы II, VI — X — А. Н. Андриановым.
А. В. Малышев
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Обозначения 8
Введение 9
Глава I. Решетки 19
§ 1. Введение 19
§ 2. Базисы и подрешетки 19
§ 3. Линейные преобразования решеток 31
§ 4. Формы и решетки 31
§ 5. Взаимная решетка 35
Глава II. Теория приведения 40
§ 1. Введение 40
§ 2. Основной процесс 41
§ 3. Определенные квадратичные формы 44
§ 4. Неопределенные квадратичные формы 50
§ 5. Бинарные кубические формы 71
§ 6. Другие формы 81
Глава III. Теоремы Блихфельдта и Минковского 87
§ 1. Введение 87
§ 2. Теоремы Блихфельдта и Минковского 92
§ 3. Обобщения на неотрицательные функции 98
§ 4. Характеризация решеток 104
§ 5. Критические определители 106
§ 6. Метод Морделла 111
§ 7. Представление целых чисел квадратичными формами . . . 128
Глава IV. Лучевые функции 134
§ 1. Введение 134
§ 2. Общие лучевые функции 137
§ 3. Выпуклые множества 140
§ 4. Лучевые функции и решетки 153
Глава V. Теорема Малера о компактности 155
§ 1. Введение 155
§ 2. Линейные преобразования 156
§ 3. Сходимость решеток . 160
§ 4. Компактность решеток 169
§ 5. Критические решетки 177
§ 6. Ограниченные звездные тела 182
§ 7. Приводимость 190
§ 8. Выпуклые тела 194
§ 9. Шары 203
§ 10. Приложения к диофантовым приближениям 205
Глава VI. Теорема Минковского — Главки 216
§ 1. Введение 216
§ 2. Подрешетки простого индекса 219
§ 3. Теорема Минковского — Главки 224
§ 4. Теоремы Шмидта 226
§ 5. Гипотеза Роджерса 230
§ 6. Неограниченные звездные тела 233
Глава VII. Факторпространство 238
§ 1. Введение 238
§ 2. Общие свойства 238
§ 3. Теорема о сумме ,. . 242
Глава VIII. Последовательные минимумы 247
§ 1. Введение 247
§ 2. Шары 251
§ 3. Общие лучевые функции 254
§ 4. Выпуклые множества 261
§ 5. Взаимные выпуклые тела 268
Глава IX. Укладки 273
§ 1. Введение 273
§ 2. Множества, для которых У(&) = 2п А (<У) 279
§ 3. Результаты Вороного 284
§ 4. Подготовительные леммы 288
§ 5. Теорема Фейеша Тота 294
§ 6. Цилиндры 300
§ 7. Укладки шаров 302
§ 8. Произведение п линейных форм 306
Глава X. Автоморфизмы 313
§ 1. Введение 313
§ 2. Специальные формы 325
§ 3. Метод Морделла 328
§ 4. Существование автоморфизмов 340
§ 5. Теоремы изоляции 348
§ 6. Применение теорем изоляции 358
§ 7. Бесконечность числа решений 362
§ 8. Локальные методы 366
Глава XI. Неоднородные проблемы 369
§ 1. Введение 369
§ 2. Выпуклые множества 375
§ 3. Теоремы переноса для выпуклых множеств 380
§ 4. Произведение п линейных форм . 390
Приложение 402
Литература 405
Указатель 417
