**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редакторов 5
Из предисловия автора 9
Часть I. Метрическая интегральная геометрия на плоскости 11
§ 1. Плотность и мера множества точек 11
1. Плотность и мера множества точек 11
2. Замечания о плотности 12
3. Одна интегральная формула 13
§ 2. Плотность и мера множества прямых 17
1 . Плотность и мера множества прямых 17
2. Упражнения 19
3. Множество прямых, пересекающих заданную кривую 19
4. Случай выпуклой кривой 21
5. Другие интегральные формулы ✓ 22
6. Средние значения 23
7. Упражнения 24
§ 3. Множества пар точек 24
1. Плотность множества пар точек 24
2. Интегралы от степеней хорд выпуклой кривой 25
3. Неравенства для 1п 27
§ 4. Множества пар прямых линий 28
1. Плотность множества пар прямых 28
2. Интегральная формула Крофтона 28
§ 5. Кинематическая мера . 30
1. Множества конгруэнтных фигур 30
2. Два свойства инвариантности кинематической меры 31
3. Другая форма для кинематической плотности 34
§ 6. Множества отрезков 35
1. Мера множества отрезков заданной длины, имеющих общие точки с некоторой выпуклой фигурой 35
2. Интегральная формула 36
3. Отрезки, пересекающие ломаную 36
4. Множество отрезков, пересекающих две стороны угла 37
5. Множество отрезков, заключенных внутри данного выпуклого многоугольника 38
§ 7. Множества спрямляемых кривых 39
1. Множества ломаных линий 39
2. Множества кривых 40
3. Другие интегральные формулы 42
§ 8. Основная формула Бляшке 43
1. Интегральные формулы для областей 43
2. Основная формула Бляшке и 45
3. Частные случаи 47
§ 9. Приложения , 49
1. Изопериметрическое неравенство 49
2. Неравенство Бониезена 50
3. Условия Хадвигера, достаточные для того, чтобы данная область могла содержать внутри себя другую область 51
4. Частный случай 54
§ 10. Решетки 54
1. Определение 54
2. Основная формула 55
3. Примеры 56
4. Некоторые средние значения 57
5. Число фундаментальных областей, необходимых для того, чтобы покрыть данную область 59
Часть II. Интегральная геометрия на поверхности 62
§ 11. Плотность множества геодезических 62
1. Уравнения Гамильтона 62
2. Плотность множества геодезических 64
§ 12. Геодезические, пересекающие заданную кривую 70
1. Новое выражение для йО 70
2. Геодезические, пересекающие заданную кривую 70
§ 13. Кинематическая плотность на поверхности .... 71
1. Множество дуг геодезических 71
2. Несколько интегральных формул 72
3. Дуги геодезических, пересекающие кривую 73
4. Множества ломаных линий 74
5. Множества кривых 75
§ 14. Пары геодезических и пары точек 76
1. Пары геодезических 76
2. Пары точек 78
§ 15. Интегральная геометрия на поверхностях постоянной кривизны 79
1. Интегральные формулы для сферы 79
2. Интегральные формулы для поверхностей постоянной отрицательной криви зны 80
3. Основная формула Бляшке для поверхностей постоянной кривизны 80
4. Изопериметрическое неравенство на поверхностях постоянной кривизны 82
Часть III. Общая интегральная геометрия 84
§ 16. Основные свойства групп Ли 84
1. Определения 84
2. Параметрическая группа 86
3. Инфинитезимальные преобразования 87
4. «Подвижный репер» Картана 88
5. Относительные компоненты «подвижного репера» 90
6. Три свойства относительных компонент .... 91
7. Относительные компоненты некоторых групп. . 93
§ 17. Свойства групп Ли (продолжение) 99
1. Внешнее дифференцирование 99
2. Свойства внешнего дифференцирования .... Ю0
3. Внешняя производная пфаффовой формы ... 101
4. Уравнения структуры Э. Картана 103
5. Примеры 104
6. Вполне интегрируемые системы Пфаффа ... 106
§ 18. Плотность и мера в однородных пространствах . . ПО
1. Мера множества геометрических элементов . . ПО
2. Примеры ИЗ
3. Условия существования меры . . 116
§ 19. Группа унимодулярных центро-аффинных преобра- зований плоскости 119
1. Центро-аффинные преобразования 119
2. Плотность множества точек 120
3. Плотность множества прямых 120
4. Кинематическая плотность 122
5. Кинематическая плотность решеток 122
6. Теорема Минковского—Главки 126
§ 20. Унимодулярная аффинная группа на плоскости . . 126
1. Унимодулярная аффинная группа 126
2. Плотность множества точек 127
3. Плотность множества прямых 128
4. Множества пар «точка+прямая» 128
5. Плотность множества парабол 129
6. Кинематическая плотность 131
§ 21. Проективная группа 131
1. Проективная группа 131
2. Условие, при котором произведение относительных компонент представляет плотность .... 132
3. Системы линейных подпространств 133
4. Частные случаи * 135
5. Кинематическая^ плотность 135
§ 22. Обобщенная формула Пуанкаре на плоскости . . 135
§ 23. Интегральная геометрия на плоскости Кэли ... 138
1. Группа Кэли 138
2. Относительные компоненты и уравнения структуры 139
3. Плотность на плоскости Кэли 139
4. Множество прямых, пересекающих данную кривую 140
5. Двойственные формулы 142
6. Формулы Крофтона на плоскости Кэли .... 143
7. Некоторые интегральные формулы для выпуклых кривых на плоскости Кэли 144
8. Формула Пуанкаре . 146
9. Формула Бляшке 146
§ 24. Группа движений n-мерного евклидова пространства 147
1. Относительные компоненты и уравнения структуры - 147
2. Плотность множества линейных подпространств 148
3. Кинематическая плотность 148
4. Случай трехмерного пространства 148
Приложение. И. М. Яглом. Интегральная геометрия в множестве линейных элементов 153
1. Биметрические системы П. К. Рашевского . . 153
2. Два способа задания меры в двупараметрическом множестве кривых плоскости 159
3. Перенесение на интегральную геометрию на поверхности; дальнейшие обобщения 165
Литература
