Оригинално заглавие:
INTRODUCTION TO FINITE MATHEMATICS
J. G. KEMENY, J. L. SNELL, G. L. THOMPSON
Department of Mathematics, Dartmouth College
ENGLEWOOD CLIFFS, N. Y., PRENTICE-HALL 1957
*
АННОТАЦИЯ
В связи с широким развитием «машинной математики» математиков все больше начинают интересовать вопросы дискретной математики, т. е. математики, не связанной с понятием предельного перехода. В книге дается элементарное введение в эту область, вполне доступное студентам младших курсов как математических, так и технических или гуманитарных специальностей. В ней излагаются некоторые вопросы математической логики, «дискретной» теории вероятностей, матричного исчисления, теории игр, математической экономики и др. Изложение сопровождается большим числом примеров и задач для упражнений.
Книга написана очень живо и увлекательно и с успехом может быть использована лицами различных специальностей, желающими ознакомиться с этим важным разделом современной математики. Немало новых и интересных постановок задач, нового освещения известных и малоизвестных вопросов найдут в ней и специалисты-математики.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора русского издания 5
Предисловие 11
ГЛАВА I. СОСТАВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ 15
§ 1. Цель теории 15
§ 2. Простейшие связки 19
§ 3. Другие связки 24
§ 4*. Высказывания с заданными таблицами истинности 29
§ 5. Логические возможности 33
§ 6. Деревья логических возможностей 42
§ 7. Логические отношения 48
§ 8*. Систематический анализ логических отношений 52
§ 9. Варианты импликации 57
§ 10. Правильные аргументы 60
§ 11*. Косвенный метод доказательства 65
§ 12*. Применения к переключательным схемам 67
Литература для дополнительного чтения 72
ГЛАВА II. МНОЖЕСТВА И ПОДМНОЖЕСТВА 73
§ 1. Введение 73
§ 2. Операции над подмножествами 78
§ 3. Соотношение между множествами и составными высказываниями 83
§ 4*. Абстрактные законы операций над множествами 88
§ 5*. Предикаты 90
§ 6. Функции 95
§ 7. Числовые функции 101
§ 8*. Базис пространства логических возможностей 104
§ 9*. Кванторы ПО
§ 10. Двоичные числовые системы 114
§ 11*. Голосующие коалиции 120
Литература для дополнительного чтения 123
ГЛАВА III. РАЗБИЕНИЯ И СОЧЕТАНИЯ 124
§ 1. Разбиения , 124
§ 2*. Приложения 128
§ 3. Число элементов множества 132
§ 4. Перестановки 137
§ 5. Число упорядоченных разбиений 142
§ 6. Некоторые свойства чисел 148
§ 7. Биномиальная и полиномиальная теоремы 154
§ 8*. Вес при голосовании 158
Литература для дополнительного чтения 161
ГЛАВА IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 162
§ 1. Введение 162
§ 2. Свойства вероятностной меры 166
§ 3. Симметричная мера 171
§ 4*. Два примера, не подкрепляемых интуицией 176
§ 5. Условная вероятность 181
§ 6*. Меры как площади 190
§ 7. Конечные стохастические процессы. Деревья, веса путей и веса ветвей 197
§ 8. Три типа стохастических процессов 209
§ 9. Независимые испытания с двумя исходами 216
§ 10. Биномиальная мера и ее пуассоновская аппроксимация 220
§ 11. Закон больших чисел 226
§ 12*. Проблема выбора решения 231
§ 13. Процесс независимых испытаний более чем с двумя исходами . . 238
§ 14. Среднее значение 244
§ 15. Марковские цепи 251
Литература для дополнительного чтения 258
ГЛАВА V. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ 259
§ 1. Векторы-столбцы и векторы-строки . 259
§ 2. Произведение векторов, примеры 264
§ 3. Матрицы и их комбинации с векторами 271
§ 4. Сложение и умножение матриц 278
§ 5. Системы линейных уравнений 287
§ 6. Обратная матрица 296
§ 7. Применение теории матриц к марковским цепям 301
§ 8*. Эргодические марковские цепи . 310
§ 9*. Дальнейшие примеры марковских цепей . 321
§ 10*. Примеры марковских цепей в физике. Энтропия 330
§ 11*. Линейные функции и линейные преобразования 341
§ 12*. Р-матрицы 345
§ 13*. Подгруппы группы перестановок 351
Литература для дополнительного чтения 356
ГЛАВА VI*. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИГР 357
§ 1. Выпуклые множества . . 357
§ 2. Максимумы и минимумы линейных функций 362
§ 3. Задачи линейного программирования 367
§ 4. Строго детерминированные игры 373
§ 5. Не строго детерминированные игры 379
§ 6. Матричные игры 387
§ 7. Еще о матричных играх: основная теорема 397
§ 8. Игры, матрицы которых имеют только две строки или только два столбца 400
§ 9. Упрощенный покер 409
Литература для дополнительного чтения 414
ГЛАВА VII*. ПРИМЕНЕНИЕ К БИХЕВИОРИСТСКИМ ПРОБЛЕМАМ 415
§ 1. Социометрические матрицы 415
§ 2. Коммуникационные сети 423
§ 3. Стохастические процессы в генетике 428
§ 4. Марковские цепи с поглощением и генетика 435
§ 5. Модель обучения Истиза 449
§ 6. Предельные вероятности в модели Истиза 453
§ 7. Правила бракосочетания в первобытных обществах 458
§ 8. Составление правил бракосочетания 463
§ 9. Модель расширяющейся экономики 468
§ 10. Существование экономического равновесия 476
Литература для дополнительного чтения 483
