ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение
Часть I
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА
Математическое введение. Линейное программирование 12
Глава 1. Модель Леонтьева и теория неотрицательных матриц. . . 21
§ 1. Схема межотраслевого баланса 21
§ 2. Линейная модель обмена 24
§ 3. Теория неотрицательных матриц 27
§ 4. Анализ продуктивности модели Леонтьева 39
§ 5. Коэффициенты трудовых затрат в модели Леонтьева .... 42
§ 6 Теорема о замещении 48
§ 7 Сравнительная статика модели Леонтьева 53
Глава 2. Динамические многоотраслевые модели 56
§ 1. Модель динамического межотраслевого баланса 57
§ 2. Описание модели Неймана 63
§ 3. Существование равновесия в модели Неймана .63
§ 4. Понятия продуктивности и неразложимости для модели Неймана 67
§ 5. Равновесие в модели динамического межотраслевого баланса . 70
§ 6. Модель Гейла 74
Глава 3. Качественное исследование оптимальных траекторий динамических моделей 85
§ 1, Магистральная теория — средство анализа оптимальных траекторий 85
§ 2. Теоремы о магистрали для простейших динамических моделей 89
§ 3. Теорема о магистрали для нетерминальной целевой функции . . 94
§ 4. Теорема о магистрали для общей модели неймановского типа . . 101
§ 5. Исследование оптимальных траекторий модели динамического межотраслевого баланса 112
Задачи 115
Часть II ОБЩЕЕ РАВНОВЕСИЕ
Математическое введение. Свойства многозначных отображений . . . .117
Глава 1. Теория потребления 120
§ 1. Отношение предпочтения и функция полезности 120
§ 2. Неоклассическая теория спроса )23
§ 3. Функции спроса и предложения 127
Глава 2. Модель Вальраса 131
§ 1 Описание модели 131
§ 2 Существование равновесия в модели Эрроу — Дебре 136
§ 3. Модель Вальда — Касселя 141
§ 4 Некоторые свойства конкурентного равновесия 146
§ 5. Модель равновесия с гарантированными доходами 150
§ 6. Модель равновесия с фиксированными доходами. Бюджетный парадокс 154
§ 7. Процессы формирования цен 164
§ 8. Развитие теории общего равновесия 176
Глава 3. Модель динамического равновесия . 179
§ 1. Описание модели 180
§ 2. Существование равновесных траекторий 183
§ 3. Ограниченность цен 191
§ 4. Эффективность равновесных траекторий 198
§ 5. Асимптотика эффективных траекторий 201
Задачи 204
Часть III ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Математическое введение. Оптимальное управление 207
Глава 1. Элементы общей теории производственных функций . . . 210
§ 1. Основные понятия 210
§ 2. Неоклассические производственные функции. Условие однородности . 218
§ 3. Эластичность замены факторов. СЕ5-фуикции 220
§ 4. Конструирование производственных функций 223
§ 5. Двойственность для производственных функций 225
§ 6. Производственные функции и экзогенный научно-технический прогресс 234
Глава 2. Моделирование процессов распределения капиталовложений 241
§ 1. Потребление и накопление: оптимальные пропорции 241
§ 2. Производственные функции в экологической модели 257
§ 3. Эндогенный научно-технический прогресс 264
Задачи .... 272
Добавление. Линейные операторы в конечномерном пространстве 274
Литература 286
Предметный указатель 291
*
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие возникло на материале курса лекций, читавшегося автором в течение ряда лет на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета. Книга задумана как пособие для студентов, специализирующихся в области прикладной математики. Цель пособия — дать представление об основных принципах построения математических моделей экономических процессов и явлений и о специфических с математической точки зрения методах их исследования.
Из всего многообразия экономико-математических моделей выбрано несколько наиболее содержательных и в то же время не слишком громоздких. На этих примерах показаны самые существенные проблемы, возникающие в процессе моделирования экономической реальности, и результаты, которые можно получить на этом пути. Автор не стремился к наибольшей общности получаемых математических фактов и теорем, пытаясь добиться прозрачности изложения и обращая особое внимание на возможные экономические интерпретации.
Вместе с тем следует сказать, что исследование экономических проблем современного промышленного производства математическими методами требует прочного владения основами математического анализа, алгебры и в ряде случаев углубленных знаний функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и других разделов математики.
Предполагается, что читатель знаком с основными разделами теории экстремальных задач: линейным и выпуклым программированием, принципом максимума Понтрягина для задач оптимального управления.
Это, впрочем, не означает, что материал книги недоступен тем, кто не получил специального математического образования. Все используемые абстрактные понятия определяются, а необходимые теоремы формулируются и снабжаются подробными пояснениями.
Книга состоит из трех частей. Это соответствует сложившейся экономической практике агрегирования экономических показателей. Так, раздел «Общее равновесие» относится к ситуации, когда никакого агрегирования исходных показателей не предполагается — экономическая система описывается с максимальной степенью подробности.
Раздел «Линейные модели производства» посвящен изучению моделей среднего уровня агрегирования.
Третья часть книги: «Производственные функции» рассматривает взаимосвязь лишь между максимально агрегированными экономическими показателями, такими, как национальный продукт, основные фонды, общий объем трудовых ресурсов и т. д.
Тем не менее, между упомянутыми тремя частями книги существует очень естественная связь, проистекающая из того, что у них один объект исследования — реальные экономические процессы.
С. А. Ашманов
