В книге Э. Мендельсона «Введение в математическую логику» дается доступное для начинающего читателя и достаточно полное изло­жение основных разделов современной математической логики и мно­гих ее приложений. Наряду с такими разделами, как логика высказы­ваний, исчисление предикатов, формальная арифметика и теория алго­ритмов, в ней освещены также теория моделей и аксиоматическая теория множеств, отсутствующие в книге С. К. Клини «Введение в метаматемати­ку», которая до настоящего времени служила наиболее полным пособием по математической логике. Следует однако отметить, что в отличие от книги С. К. Клини в этой книге по существу не затрагиваются интуи­ционистское и конструктивное направления математической логики.

Изложение материала в книге ясное и лаконичное. Основной текст перемежается с большим числом примеров и упражнений. В упражнения автор вынес также некоторые результаты, используемые затем в основ­ном тексте. Это, наряду с лаконичностью изложения, способствовало сокращению размеров книги при весьма обширном содержании.

Переводчик и редактор перевода позволили себе без специальных оговорок и примечаний исправить ряд неточностей и опечаток, имев­шихся в оригинале, а также привести терминологию и обозначения в со­ответствие с принятыми в русской литературе.

Книгу Э. Мендельсона можно рекомендовать в качестве пособия не только студентам и аспирантам, специализирующимся по математической логике, но также всякому, кто захочет начать систематическое изучение этого предмета.

Во втором издании книги исправлены опечатки и отдельные погрешности, замеченные после выхода в свет первого издания. Редак­тор благодарен Н. М. Нагорному и А. Л. Семенову, указавшим на ряд неточностей, допущенных в первом издании книги.

С. И. Адян

***

Предисловие

В этой книге мы попытались представить сжатое введение в некоторые основные разделы математической логики. Чтобы дать полное и точное изложение основных и наиболее важных вопросов, мы опустили такие дополнительные темы, как модальная, комбинаторная и интуиционист­ская логики, а также некоторые интересные, но более специальные воп­росы, как, например, степени рекурсивной неразрешимости.

Придерживаясь того мнения, что начинающим следует предлагать наиболее естественные и легкие доказательства, мы применяем самые непринужденные теоретико-множественные методы. Значение требования конструктивных доказательств может быть оценено только после извест­ного опыта занятий математической логикой. В конце концов, если уж нам предстоит быть изгнанными из «канторова рая» (как назвал Гиль­берт неконструктивную теорию множеств), то по крайней мере мы должны знать, чего лишаемся.

Пять глав книги удобно распределить на два семестра, а для курса в один семестр вполне подойдут главы с 1 по 3 (при этом можно, если это потребуется для ускорения, опустить §§ 5 и 6 главы 1 и §§ 10—12 главы 2). Мы будем отмечать верхним индексом Б упраж­нения, которые, вероятно, будут трудны для начинающего, и верхним индексом А — упражнения, предполагающие знакомство с материалом, недостаточно освещенным в тексте.

Настоящая книга представляет собой расширенное воспроизведение записей полугодового курса лекций по математической логике, читанного автором с 1958 по 1960 г. в Колумбийском университете, а в 1961 и 1962 гг. в Куинс колледже. Автор надеется, что эта книга может быть прочитана без особого труда всяким, кто имеет некоторый опыт абст­рактного математического мышления; при этом каких-либо конкретных предварительных знаний не требуется. Автор хотел бы поблагодарить Дж. Баркли Россера за поддержку и руководство во время аспи­рантских занятий логикой, а также с признательностью отметить несом­ненное влияние, оказанное на него книгами Гильберта и Бер-найса [1934, 1939], Клини [1952], Россера [1953] и Чёрча [1956].

Эллиот Мендельсон

New York, Январь 1963