**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Обозначения 7
Глава I. Однородные приближения 9
§ 1. Введение 9
§ 2. Непрерывные дроби 10
§ 3. Эквивалентность 18
§ 4. Применение к приближениям 21
§ 5. Совместные приближения 23
Замечания 27
Глава II. Цепочки Маркова 29
§ 1. Введение 29
§ 2. Неопределенные бинарные квадратичные формы 32
§ 3. Об одном диофантовом уравнении 40
§ 4. Формы Маркова 43
§ 5. Цепочка Маркова для форм 52
§ 6. Цепочка Маркова для приближений 54
Замечания 57
Глава III. Неоднородные приближения 58
§ 1. Введение 58
§ 2. Одномерный случай 59
§ 3. Отрицательный результат 64
§ 4. Линейная независимость над полем рациональных чисел 65
§ 5. Совместные приближения (теорема Кронекера) . . 66
Замечания 74
Глава IV. Равномерное распределение 76
§ 1. Введение 76
§ 2. Определение отклонения 77
§ 3. Равномерное распределение линейных форм .... 80
§ 4. Критерии Вейля 82
§ 5. Следствие из критериев Вейля 89
Замечания 92
Глава V. Теоремы переноса 94
§ 1. Введение 94
§ 2. Теоремы переноса для двух однородных задач ... 95
§ 3. Применение к совместным приближениям 99
§ 4. Теоремы переноса для однородной и неоднородной задач 100
§ 5. Непосредственное обращение теоремы 104
§ 6. Применение к неоднородному приближению .... 106
§ 7: Регулярные и сингулярные системы 114
§ 8. Количественная теорема Кронекера 120
§ 9. Последовательный минимум 123
Замечания 126
Глава VI. Приближение алгебраических чисел рациональными. Теорема Рота 127
§ 1. Введение . . . 127
§ 2. Предварительные замечания 128
§ 3. Построение полинома 130
§ 4. Поведение полинома Р в рациональных точках в окрестности точки 134
§ 5. Поведение полинома с целыми коэффициентами в рациональных точках 136
§ 6. Доказательство теоремы 144
Замечания 145
Глава VII. Метрическая теория 147
§ 1. Введение 147
§ 2. Случай сходимости (п= 1) 148
§ 3. Две леммы 149
§ 4. Доказательство теоремы II (случай расходимости, п = 1) 151
§ 5. Некоторые дополнительные леммы 153
§ 6. Доказательство теоремы I (случай расходимости, /2 = 1) 155
§ 7. Случай п >2 ». . . . 160
Замечания 161
Глава VIII. Числа Пизо — Виджаярагхавана 162
§ 1. Введение 162
§ 2. Доказательство теоремы I 164
§ 3. Доказательство теоремы II ... . 167
§ 4. Доказательство теоремы III 171
Замечания 175
Приложение А. Базисы в некоторых модулях 176
Приложение В. Некоторые сведения из геометрии чисел . . . 180
Замечания . 193
Приложение С. Лемма Гаусса 194
Литература 196
Дополнение редактора перевода. О теореме Минковского для линейных форм и теоремах переноса 202
Литература 209
Указатель 213
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой монографии — дать представление об основных технических приемах и о некоторых наиболее замечательных результатах теории диофантовых приближений. Монография рассчитана на студентов старших курсов, владеющих элементами теории чисел. От читателя не требуется никаких специальных знаний, кроме основ теории интеграла Лебега, необходимых для понимания гл. VII, и элементов алгебраической теории чисел, необходимых для понимания гл. VIII (но не гл. VI). Все, что требуется из геометрии чисел, излагается подробно в приложении В, к которому читатель может обращаться по мере надобности.
Библиографические замечания и советы по дальнейшему чтению даются в конце каждой главы, а изредка встречающиеся комментарии предназначены для более искушенного читателя. Вообще я упоминал только сравнительно новые и наиболее доступные работы, из которых можно было бы получить дальнейшие ссылки. Результаты, полученные до 1936 г., излагаются в содержательной и незаменимой книге Коксмы (1936)]). Там, где не дается никаких ссылок, не следует полагать, что мы претендуем на оригинальность: многие результаты являются общим достоянием, и я включил их, не помня источника.
Специалист заметит пробелы. В частности, очень мало говорится о совместном приближении набора иррациональных чисел и ничего о точных константах. Небольшое число имеющихся точных результатов связано с глубокими исследованиями, например с давенпортовским значением критического детерминанта и с совсем иными техническими приемами, отличными от тех, которые мы приводим в этой книге (я совсем не пользуюсь словом „решетка"). Современное состояние вопроса см. у Давенпорта (1954). Однако в приложении В читатель найдет предпосылки для понимания теоремы Малера о компактности для решеток [Малер (1946)], которая является важным орудием при изучении совместных приближений, а также и во многих других вопросах.
Существуют аналоги многих результатов этой книги, в которых роль действительных чисел играют р-адические числа [см. Лутц (1951) и цитированную там литературу].
Мне приятно выразить здесь благодарность профессорам. Давенпорту, Малеру, Морделлу и г-ну Верчу, прочитавшим и первоначальную рукопись и корректуры; проф. Холлу и г-ну Суиннертону-Дайеру, прочитавшим корректуры: их проницательная критика как формы, так и содержания привела к тому, что в окончательном виде книга мало напоминает первоначальный вариант. Проф. Роджерс и г-н Берч разрешили мне использовать неопубликованные работы, относящиеся соответственно к цепочкам Маркова и теоремам переноса, а д-р Рот предоставил в мое распоряжение до опубликования рукопись с кардинальным улучшением теоремы Туэ — Зигеля.
Касселс
Тринити Колледж, Кембридж, 1956
------
*) Ссылки см, на стр. 196—201,
