ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель этой монографии — дать представление об основных технических приемах и о некоторых наиболее замечательных результатах теории диофантовых приближений. Монография рассчитана на студентов старших курсов, владеющих эле­ментами теории чисел. От читателя не требуется никаких специальных знаний, кроме основ теории интеграла Лебега, необходимых для понимания гл. VII, и элементов алгебраи­ческой теории чисел, необходимых для понимания гл. VIII (но не гл. VI). Все, что требуется из геометрии чисел, изла­гается подробно в приложении В, к которому читатель может обращаться по мере надобности.

Библиографические замечания и советы по дальнейшему чтению даются в конце каждой главы, а изредка встречаю­щиеся комментарии предназначены для более искушенного читателя. Вообще я упоминал только сравнительно новые и наиболее доступные работы, из которых можно было бы по­лучить дальнейшие ссылки. Результаты, полученные до 1936 г., излагаются в содержательной и незаменимой книге Коксмы (1936)^]). Там, где не дается никаких ссылок, не следует полагать, что мы претендуем на оригинальность: многие ре­зультаты являются общим достоянием, и я включил их, не помня источника.

Специалист заметит пробелы. В частности, очень мало говорится о совместном приближении набора иррациональных чисел и ничего о точных константах. Небольшое число имею­щихся точных результатов связано с глубокими исследова­ниями, например с давенпортовским значением критического детерминанта и с совсем иными техниче­скими приемами, отличными от тех, которые мы приводим в этой книге (я совсем не пользуюсь словом „решетка"). Современное состояние вопроса см. у Давенпорта (1954). Однако в приложении В читатель найдет предпосылки для понимания теоремы Малера о компактности для решеток [Малер (1946)], которая является важным орудием при изу­чении совместных приближений, а также и во многих других вопросах.

Существуют аналоги многих результатов этой книги, в которых роль действительных чисел играют р-адические числа [см. Лутц (1951) и цитированную там литературу].

Мне приятно выразить здесь благодарность профессорам. Давенпорту, Малеру, Морделлу и г-ну Верчу, прочитавшим и первоначальную рукопись и корректуры; проф. Холлу и г-ну Суиннертону-Дайеру, прочитавшим корректуры: их про­ницательная критика как формы, так и содержания привела к тому, что в окончательном виде книга мало напоминает первоначальный вариант. Проф. Роджерс и г-н Берч разре­шили мне использовать неопубликованные работы, относящиеся соответственно к цепочкам Маркова и теоремам переноса, а д-р Рот предоставил в мое распоряжение до опубликования рукопись с кардинальным улучшением теоремы Туэ — Зигеля.

Касселс

Тринити Колледж, Кембридж, 1956

------

*) Ссылки см, на стр. 196—201,