Книга посвящена изложению квантовой теории поля — раздела физики, входящего в качестве необходимой части обучения современного физика-теоретика и экспериментатора в области ядерной физики. Все вопросы квантовой теории поля получили здесь достаточно полное и современное освещение. Первое издание стало наиболее распространенным пособием как для студентов, так и для научных работников и переведено на многие иностранные языки.
В настоящем втором издании устранены недочеты, замеченные в первом издании, и добавлены разделы, посвященные последним достижениям в области квантовой теории поля.
Таблиц — 3, рисунков — 70, библиография 174 назв.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 9
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 10
ВВЕДЕНИЕ 11
План изложения (11). Некоторые обозначения (12).
Глава I. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ПОЛЕЙ 14
§ 1. Лагранжев формализм 14
1.1. Поля и частицы (14). 1.2. Гамильтонов и лагранжев формализмы (15).
1.3. Функция Лагранжа и принцип стационарного действия (15). 1.4. Трансформационные свойства функций поля. Тензоры и спиноры (17). 1.5. Другие группы преобразований (20).
§ 2. Теорема Нетер и динамические инварианты 20
2.1. Теорема Нётер (20). 2.2. Вектор энергии-импульса (23). 2.3. Тензор момента количества движения и тензор спина (23). 2.4. Изотопический спин, заряд и вектор тока (25).
§ 3. Скалярное поле 27
3.1. Лагранжев формализм действительного скалярного поля (27). 3.2. Импульсное представление и частотные компоненты (28). 3.3. Дискретное импульсное представление (31). 3.4. Комплексное скалярное поле (32). 3.5. Поле пионов (33).
§ 4. Векторное поле 34
4.1. Лагранжиан, дополнительное условие и инварианты (34). 4.2. Переход к импульсному представлению (37). 4.3. Спин векторного поля (38). 4.4. Запись уравнений Клейна—Гордона в виде системы уравнений первого порядка (39).
§ 5. Электромагнитное поле 41
5.1. Потенциал электромагнитного поля (41). 5.2. Градиентное преобразование второго рода и условие Лоренца (42). 5.3. Лагранжев формализм (43). 5.4. Поперечные, продольные и временные составляющие (45). 5.5 Спин (45).
§ 6. Спинорное поле. Матрицы Дирака и законы преобразования спинорных функций 46
6.1. Факторизация оператора Клейна - Гордона (46). 6.2. Матрицы Дирака (47). 6.3. Уравнение Дирака (50). 6.4. Трансформационные свойства спинор-ного поля (51).
§ 7. Спинорное поле. Свойства решений и динамические инварианты 55
7.1. Импульсное представление и матричная структура (55). 7.2. Разложение по спиновым состояниям и соотношения нормировки и ортогональности (57). 7.3. Лагранжев формализм и инварианты (59). 7.4. Спинорное поле с массой нуль (62).
§ 8. Лагранжиан системы полей 63
8.1. Лагранжиан взаимодействия и его симметрия (64). 8.2. Динамические инварианты системы полей (65).
Глава II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ПОЛЕЙ 68
§ 9. Общие принципы квантования волновых полей 68
9.1. Операторная природа функций поля и амплитуда состояния (68). 9.2. Представления уравнения Шредингера (68). 9.3. Трансформационные свойства амплитуды состояния и операторов поля (69). 9.4. Постулат квантования волновых полей (71). 9.5. Физический смысл положительно- и отрицательно-частотных составляющих и сопряженных функций (72). 9.6. Состояние вакуума и амплитуда состояния в фоковском представлении (74).
§ 10. Установление перестановочных соотношений 75
10.1. Типы перестановочных соотношений (75). 10.2. Перестановочные соотношения Ферми-Дирака и Бозе - Эйнштейна (77). 10.3. Связь спина со статистикой. Теорема Паули (79). 10.4. Нормальное произведение операторов и запись динамических переменных (80). 10.5. Перестановочные соотношения в дискретном импульсном представлении (82).
§ 11. Скалярное и векторное поля 84
11.1 Действительное и комплексное скалярные поля (84). 11.2. Поле пи-мезонов. (86). 11.3. Комплексное векторное поле (86).
§ 12. Электромагнитное поле 88
12.1. Особенности электромагнитного поля и схема квантования (88). 12.2. Индефинитная метрика (90). 12.3. Запись основных величин (93).
§ 13. Спинорное поле 93
13.1. Квантование по Ферми - Дираку и перестановочные функции (93). 13.2. Динамические переменные (95). 13.3. Квантованное нейтринное поле (95). 13.4. Зарядовое сопряжение (96). 13.5. Зарядовое сопряжение в общем случае (99). 13.6. Р-преобразование (100). 13.7. Обращение времени (101). 13.8. СРГ-теорема (102).
§ 14. Функции Грина 104
14.1. Функции Грина скалярного поля (104). 14.2. Причинная функция Грина скалярного поля (105). 14.3. Причинные функции Грина различных полей (106).
§ 15. Особенности перестановочных и причинных функций 109
15.1. Вычисление Т>+- и 2)--функций (109). 15.2. Явный вид и особенности функций 0(х) и 29с(х) (111). 15.3. Регуляризация сингулярных функций методом Паули - Вилларса (112).
§ 16. Операторные выражения и сингулярные функции 114
16.1. Коэффициентные функции операторных выражений (114). 16.2. Теорема Вика для нормальных произведений (116). 16.3. Несобственная природа сингулярных функций (121). 16.4. Некоторые свойства регуляризации Паули - Вилларса (126). 16.5. Умножение сингулярных функций (127). 16.6. Некоторые свойства сингулярных функций (132). 16.7. Умножение операторных функций (132). 16.8. Некоторые определения (135).
Глава III. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 137
§ 17. Основные понятия теории взаимодействующих полей 137
17.1. Введение (137). 17.2. Представление взаимодействия (138). 17.3. Матрица рассеяния (139). 17.4. Релятивистская ковариантность и унитарность 5-матрицы (140). 17.5. Условие причинности (141). 17.6. «Классические поля» как функциональные аргументы (143).
§ 18. Лагранжиан взаимодействия и ^-матрица 144
18.1. Разложение ^-матрицы по степеням взаимодействия (144). 18.2. Условия ковариантности, унитарности и причинности для 5Л (145). 18.3. Определение явного вида 8х(х) и 32(х» У) (147). 18.4. Хронологическое произведение локальных операторов (150). 18.5. Определение функций 8п при любом п (151). 18.6. Анализ произвола в функциях 5Л и наиболее общий вид 8(§) (153).
§ 19. Раскрытие хронологических произведений 157
19.1. Хронологическое спаривание (157). 19.2. Теорема Вика для хронологических произведений (160).
§ 20. Приведение 5-матрицы к нормальной форме 162
20.1. Структура коэффициентов матрицы рассеяния (162). 20.2. Диаграммы Фейн-мана и правила соответствия (164). 20.3. Примеры (167). 20.4. Заключительные замечания (169).
§ 21. Правила Фейнмана для вычисления матричных элементов^матрицы рассеяния 170
21.1 Переход к импульсному представлению (170). 21.2. Вычисление матричных элементов (172). 21.3. Учет свойств симметрии (174). 21.4. Рассеяние внешними полями (177). 21.5. Общая структура матричных элементов (178).
§ 22. Вероятности процессов рассеяния и эффективные сечения 181
22.1. Нормировка амплитуды состояния (181). 22.2. Вычисление вероятностей переходов (182). 22.3. Рассеяние двух частиц. Амплитуда рассеяния (183). 22.4. Эффективные сечения рассеяния (184).
§ 23. Примеры расчета процессов второго порядка 185
23.1. Комптоновское рассеяние (185). 23.2. Аннигиляция пары электрон - позитрон (188). 23.3. Тормозное излучение (190).
Глава IV. УСТРАНЕНИЕ РАСХОД И М ОСТЕЙ ИЗ 5-МАТРИЦЫ 192
§ 24. О расходимостях ^-матрицы в электродинамике (второй порядок) 192
24.1. Расходящаяся диаграмма с двумя внешними электронными линиями 8 (192).
24.2. Выделение из И расходящейся части (196). 24.3. Расходящаяся диаграмма с двумя внешними фотонными линиями П (197). 24.4. Выделение расходимостей из Я и градиентная инвариантность (199). 24.5. Построение интегрируемой функции 82 (200).
§ 25. О расходимостях ^-матрицы в электродинамике (третий порядок) 202
25.1. Вершинная диаграмма третьего порядка (203). 25.2. Выделение расходимости из Г и градиентная инвариантность (204). 25.3. Тождество Уорда (206). 25.4. Получение интегрируемой функции б'з (208).
§ 26. Общие правила устранения расходимостей из 5-матрицы 209
26.1. Постановка задачи (209). 26.2. Общий метод устранения расходимостей (210). 26.3. Графическое представление процедуры вычитания и Я-операция (211). 26.4. Индекс диаграммы си(С) и степень расходимости (213). 26.5. Структура экспоненциальной квадратичной формы (216). 26.6. Выбор операции Л(С) (219). 26.7. Факторизация Я-операции (220). 26.8. Переход к пределу при е-»0 (224). 26.9. Обобщение рецепта построения А(С) (225). 26.10. Иллюстрация (226).
§ 27. Аналитические свойства коэффициентных функций в импульсном представлении 228
27.1. Аналитические свойства 8П (228). 27.2. Структура функций #л(228). 27.3. Аналитические свойства функций Нп (229).
§ 28. Классификация ренормируемости теорий 231
28.1. Взаимодействия первого и второго рода (231). 28.2. Перечень взаимодействий первого рода (233). 28.3. Нелокальный характер взаимодействий второго рода (234). 28.4. Фиксирование теории первого рода конечным числом констант (235).
Глава V. ПРИЛОЖЕНИЕ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УСТРАНЕНИЯ РАСХОДИМОСТЕЙ К КОНКРЕТНЫМ СЛУЧАЯМ 237
§ 29. Скалярное поле с нелинейным взаимодействием 237
29.1. Модель <р3 (237). 29.2. Псевдоскалярное поле с нелинейным взаимодействием (239).
§ 30. Спинорная электродинамика. I. Общий вид контрчленов 240
30.1. Типы расходящихся диаграмм и теорема Фарри (240). 30.2. Градиентная инвариантность матрицы рассеяния (243). 30.3. Тождества Уорда (248). 30.4. Контрчлены (251).
§ 31. Спинорная электродинамика. П. Ренормировка массы и заряда 252
I—I
31.1. Градиентное преобразование спаривания А А (252). 31.2. Неоднозначность процесса устранения бесконечностей (253). 31.3. Полные функции Грина С, О и вершинная часть Г (256). 31.4. Радиационные поправки во внешние линии и выбор конечных постоянных (261).
§ 32. Спинорная электродинамика. III. Радиационные поправки второго порядка ... 263
32.1. Поправки к фотонной функции (263). 32.2. Поправки к электронной функции Грина (265). 32.3. Поправки к вершинной части (267). 32.4. Схема вычисления поправок к формуле Клейна - Нишины (267).
§ 33. Псевдоскалярная мезонная теория 269
33.1. Типы расходящихся диаграмм и контрчлены (270). 33.2. Второй заряд, мультипликативные ренормировки и внешние линии (271).
§ 34. Уравнения Швингера для функций Грина 272
34.1. Связь полных функций Грина с вакуумными ожиданиями Г-произведений (272). 34.2. Обобщенная теорема Вика (275). 34.3. Уравнения Швингера (276). 34.4. Учет контрчленов (280).
Глава VI. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 282
§ 35. Уравнение Шредингера для амплитуды состояния 282
35.1. Уравнение для Ф(#) в вариационных производных (282). 35.2. Уравнение Шредингера в представлении взаимодействия и уравнение Томонага - Швингера (283). 35.3. Сингулярности обобщенного гамильтониана (286). 35.4. Основные свойства обобщенного гамильтониана (289).
§ 36. Динамические переменные системы взаимодействующих полей 290
36.1. Энергия, импульс и тензор момента (291). 36.2. Локальные динамические величины (294). 36.3. Вектор тока (296). 36.4. Условие Лоренца (297). 36.5. Операторы волновых полей (298).
§ 37. Поляризация вакуума и аномальный магнитный момент электрона 299
37.1. Поляризация вакуума (299). 37.2. Аномальный магнитный момент электрона (302).
§ 38. Уравнение Дирака с радиационными поправками 306
38.1. Обобщение волновой функции электрона (306). 38.2. Обобщение уравнения р Дирака (309). 38.3. Лэмбовский сдвиг уровней (311). 38.4. Заключительные замечания (314).
Глава VII. МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УСРЕДНЕНИЯ 315
§ 39. Представление функций Грина через континуальные интегралы 315
39.1. Введение (315). 39.2. Вычисление (ехр I ^г<р с!р^ (316). 39.3. Континуальные интегралы (318). 39.4. Замкнутые выражения для функций Грина (320).
§ 40. Градиентное преобразование функции Грина электрона в спинорной электроди-
намике 322
40.1. Переход к поперечной калибровке и преобразование функции С(х, у \А) (322). 40.2. Функциональный интеграл для С(х, у) в случае поперечной калибровки (324). 40.3. Градиентное преобразование функции С(х, у) (325).
§ 41. Исследование модели Блоха - Нордсика 327
41.1. Модель Блоха - Нордсика и определение С(х, у \ А) (327). 41.2. Вычисление в(х9 у) (329).
Глава VIII. РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА 332
§ 42. Группа мультипликативных ренормировок в спинорной электродинамике 332
42.1. Введение (332). 42.2. Групповой характер мультипликативных ренормировок (333). 42.3. Функциональные уравнения группы (334). 42.4. Общие решения функциональных уравнений (337). 42.5. Дифференциальные уравнения Ли (340).
§ 43. Асимптотические свойства функций Грина спинорной электродинамики 341
43.1. Постановка задачи (341). 43.2. Ультрафиолетовая асимптотика (342). 43.3. Инфракрасная асимптотика электронной функции Грина (345).
§ 44. Двухзарядная ренормализационная группа мезон-нуклонной теории 346
44.1. Введение (346). 44.2. Функциональные уравнения и их решения (346). 44.3. Дифференциальные уравнения группы и фазовая плоскость инвариантных зарядов (348). 44.4. Симметричные асимптотики многочастичных функций Грина и вершинных функций (351). 44.5. Заключение. Гипотеза конечных инвариантных зарядов (352).
Глава IX. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 354
§ 45. Основные свойства ^-матрицы в локальной теории поля 354
45.1. Введение (354). 45.2. Общие свойства матрицы рассеяния (357). 45.3. Локальные свойства (360). 45.4. Оптическая теорема (362).
§ 46. Спектральное представление пионной функции Грина 363
46.1. Радиационные операторы первого и второго порядка (363). 46.2. Вакуумное ожидание произведения и коммутатора двух токов (365). 46.3. Аналитические свойства (У и 0х (367). 46.4. Спектральное представление <[9 #а и #с (370).
§ 47. Спектральное представление фермионной функции Грина 372
47.1. Радиационные ферми-операторы (372). 47.2. Вывод спектрального представления (373). 47.3. Близость к противоречию (376).
§ 48. Представление Йоста - Лемана - Дайсона 377
48.1. Постановка задачи (377). 48.2. Общая форма представления (378). 48.3. Область интегрирования (381). 48.4. Некоторые следствия (382).
§ 49. Вывод дисперсионных соотношений для пион-нуклонного рассеяния 383
49.1. Связь амплитуды рассеяния с «запаздывающим» и «опережающим» матричными элементами (383). 49.2. Переход к фиксированной системе отсчета. Трудности аналитического продолжения (386). 49.3. Схема получения дисперсионных соотношений для амплитуды рассеяния вперед (388). 49.4. Случай рассеяния при р^О (391).
§ 50. Дисперсионные соотношения для пион-нуклонного рассеяния вперед 392
50.1. Переход к вещественным величинам (392). 50.2. Изотопическая и спиновая структура (394). 50.3. Свойства симметрии по энергии (395). 50.4. Физические дисперсионные соотношения (396). 50.5. Дальнейшее развитие метода (397).
Приложение 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИЗОТОПИЧЕСКОМ ФОРМАЛИЗМЕ .... 400
А. Дублет нуклонов (400). Б. Триплет пионов (401). В. Амплитуда пион-нуклонного рассеяния (402).
Приложение 2. СВОДКА СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 404
А. Вспомогательные сингулярные функции (404). Б. Функции скалярного поля (405). В. Сингулярные функции электромагнитного, векторного и спинорного полей (407). Г. Связь с обозначениями других авторов (408).
Приложение 3. СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 409
А. Формулы с матрицами и спинорами Дирака (409). Б. Вычисление фейнманов-ских интегралов (410).
ЛИТЕРАТУРА 411
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 415
***
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая монография представляет собой попытку систематического изложения современной теории квантованных полей, начиная с основ и вплоть до последних ее достижений.
При написании книги авторы руководствовались намерением изложить теорию поля с единой точки зрения, совмещая внутреннюю логическую последовательность и замкнутость с полнотой охватываемого материала. Мы стремились также везде, где это возможно, внести максимальную ясность в основные положения теории, используемые на ее современном этапе развития. При этом, естественно, особое внимание было обращено на математическую корректность рассуждений, в связи с чем степень освещения приложений теории к расчетам конкретных физических явлений претендует лишь на методическую полноту.
Авторы стремились также достаточно полно осветить наиболее перспективные направления, развивающиеся в самое последнее время. Мы надеемся, что благодаря этому книга окажется полезной не только лицам, приступающим к изучению квантовой теории поля, но и теоретикам, работающим в этой области физики.
Глава «Дисперсионные соотношения», излагающая наиболее новые результаты, ввиду их большой актуальности была включена в книгу дополнительно.
Авторы благодарят сотрудников и аспирантов Отдела теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР и Кафедры статистической физики и механики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова за замечания и предложения в процессе подготовки рукописи. Мы особенно благодарны Б. В. Медведеву, сделавшему ряд ценных замечаний по отдельным разделам книги.
Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков
Москва, Февраль 1957 г.
****
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке второго издания основное внимание было обращено на усовершенствование принципиальных моментов изложения. Так, в частности, в новой редакции даются основы квантования полей и общие правила устранения расхо-димостей. Значительные изменения внесены в материал двух последних глав (ре-нормализационная группа и дисперсионные соотношения), где мы стремились облегчить изложение, освободив его от ряда сложных вопросов (например, доказательства дисперсионных соотношений при I & 0), достаточно подробно изложенных в более специальной литературе.
Авторы благодарны большому числу своих коллег из Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР, Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований и Института математики СО АН СССР за полезные замечания и советы при работе над вторым изданием.
Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков
г. Дубна, апрель, 1972 г.
