ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Тот, кто проводил более или менее громоздкие мате­матические выкладки, не раз испытывал досаду от того, что довольно «хорошая» непрерывная функция в неко­торых точках является недифференцируемой, рассматри­ваемый ряд или интеграл расходится, а преобразование Фурье достаточно простой функции, например констан­ты, не существует. Эта досада усугублялась тем, что про­водимые выкладки не являлись самоцелью, а были лишь промежуточным этапом в получении необходимого ре­зультата. (В дальнейшем от недифференцируемой функ­ции необходимо было взять интеграл, сложить расходя­щиеся ряды или интегралы с подобными себе, а преобра­зование Фурье нужно было лишь для того, чтобы упростить задачу и на заключительном этапе вернуться оригиналу с помощью обратного преобразования.) Именно в том, чтобы сделать промежуточные опера­ции «законными», неоценимую услугу исследователю оказывают обобщенные функции, обобщенные производ­ные, обобщенное понимание сходимости рядов и инте­гралов, обобщенное преобразование Фурье. Рассмотре­нию таких понятий посвящено в настоящее время довольно много работ, причем не только «чисто» матема­тических. Нельзя также пожаловаться на отсутствие литературы по прикладным вопросам теории обобщен-:ых функций. Среди механиков, физиков и инженеров большой популярностью пользуются книги И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова, В. С. Владимирова, Я. Микусин­ского и Р. Сикорского, Л. Шварца, Г. Бремермана 6 и многие другие.

Однако почти во всех современных руководствах по теоретической механике, теории упругости и гидромеха­нике основные положения теории обобщенных функций полностью игнорируются. Хотя для обозначения сосре­доточенных воздействий в некоторых из них и применя­ются символы дельта-функции Дирака и ее производ­ных, при оценке их влияния используются средства клас­сического анализа с его вырезанием окрестностей особых точек и рассмотрением пределов при уменьшении этих окрестностей.

Предлагаемая советскому читателю книга румынских авторов поможет механикам и физикам принять на во­оружение основные достижения теории обобщенных функций для описания сосредоточенных нагрузок, масс, электрических зарядов, фундаментальных решений тео­рии упругости и т. д.

Книга предназначена для тех, кому часто приходится сталкиваться в различных ситуациях при решении самых разнообразных задач с такими функциями, как единичная функция Хевисайда, дельта-функция Дирака и ее произ­водные.

Нельзя сказать, что от читателя не требуется никакой предварительной математической подготовки. Хотя кни­га содержит минимальный теоретический материал, все же предполагается, что читатель владеет основными по­нятиями функционального анализа или по крайней мере может в них разобраться, заглянув в какой-либо учебник, например в книгу А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анали­за». Имея в виду именно такого читателя, мы не делали при переводе разъяснений используемых авторами мате­матических понятий. Например, не отмечалось, что под компактными множествами авторы понимают ограничен­ные замкнутые множества, ибо рассматриваются только евклидовы пространства Я^п.

При переводе мы старались использовать терминоло­гию, общепринятую в отечественной литературе. В слу­чаях отсутствия полностью эквивалентных терминов на русском языке делались соответствующие сноски. Заме­тим, что слово «сНзтЬиИе» — «распределение» переводи­лось нами как «обобщенная функция», что более принято в отечественной литературе, хотя некоторые авторы и делают различие между понятиями «распределение» и «обобщенная функция» (см., например, книгу А. Г. Зе-маняна «Интегральные преобразования обобщенных функций»). Прилагательное «геа1» переводилось как «действительный--, хотя не менее распространен термин «вещественный*.

Для русского издания авторы существенно перерабо­тали книгу. Сделаны значительные добавления в тексте и литературе, исправлены опечатки и неточности.

Книга, несомненно, заинтересует многих инженеров, механиков, физиков. Она будет также полезна аспиран­там и студентам технических учебных заведений.

Б. Е. Победря

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

В русском издании этой книги дано несколько новых постановок задач, улучшены некоторые доказательства, приведены новые результаты и формулы, полезные в раз­личных областях.

Настоящее издание дополнено также несколькими новыми пунктами и разделами, относящимися как к тео­рии обобщенных функций, так и к ее применениям. Рас­смотрены обобщенные функции с компактными носите­лями и периодические обобщенные функции, имеющие многочисленные применения. В разделы, где рассмат­риваются дифференциальные и интегральные уравнения, включены сведения об интегро-дифференциальных урав­нениях типа свертки, а также функциях Грина и обобщенных функциях Грина, тесно связанных с фунда­ментальными решениями в смысле теории обобщенных функций.

В разделе, относящемся к приложениям в механике, описаны применения обобщенных функций к системам материальных точек с переменной массой. Выведены уравнения Лагранжа для систем материальных точек, масса которых изменяется непрерывно или скачкообраз­но, а также для случая столкновения.

В настоящех издании указаны ноЕые важные приме­нения, связанные с постановкой плоской задачи теории упругости в напряжениях как в статическом, так и в ди­намическом случаях. Получены фундаментальные реше­ния для упругой плоскости (в статическом и динамиче­ском случаях) и поставлена задача для упругой полуплоскости (статическая), включая особый случай периодических нагрузок.

Методы теории обобщенных функций очень полезны при изучении линейной вязкоупругости. В книге подроб­но рассмотрены одномерный случай и модели Кельвина и Максвелла.

Во многих областях физики встречаются задачи, свя­занные с линейными колебаниями. С помощью методов теории обобщенных функций проведено исследование таких колебаний, включая продольные колебания меха­нических систем.

В настоящем издании дополнен также список литера­туры

Авторы благодарят издательство «Мир» за разреше­ние на увеличение объема книги, что позволило включить большое количество новых задач.

Авторы также приносят благодарность д-ру физико-математических наук, профессору Московского государ­ственного университета Б. Е. Победре за его содействие улучшению издания нашей книги на русском языке.

21 мая 1977 г.

Авторы

ПРЕДИСЛОВИЕ

Решение многих теоретических и практических задач тесно связано как с методологическим подходом, так и с используемым математическим аппаратом. При мате­матическом описании физических явлений и решении соответствующих краевых задач могут возникнуть опре­деленные трудности, связанные с дополнительными огра­ничениями, появляющимися в связи с ограниченными возможностями используемого математического аппара­та. Вообще говоря, эти ограничения вовсе не необходимы и они не всегда связаны с рассматриваемым физическим явлением.

К обычно используемым методам относятся методы классического математического анализа. Однако возмож­ности этих методов часто ограничены. Так, например, не всякая непрерывная функция дифференцируема. Это связано с математическим аппаратом и сильно влияет на единство и общность результатов. Теория обобщенных функций является мощным математическим аппаратом, позволяющим решать широкий класс задач (которые, вообще говоря, не поддаются решению методами клас­сического математического анализа) без ограничений, не связанных с физическим явлением. Этот аппарат позво­ляет строго обосновать применяемые методы и получен­ные результаты и дает возможность построить единую и общую теорию.

В первой части книги авторы приводят элементы теории обобщенных функций — формулировки теорем с их возможными применениями, не уделяя при этом слит­ком много внимания их доказательству, но и без ущерба для математической строгости. Рассматриваются такие вопросы, как дифференцирование обобщенных функций, дельтообразные последовательности, прямое произведе­ние и свертка обобщенных функций, обобщенные функ­ции, сосредоточенные на кривых, поверхностях и объемах, однородные обобщенные функции, интегральные преоб­разования обобщенных функций, и приводятся различные вычислительные формулы. Особо подчеркиваются воз­можности применения этой теории при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений, дифферен­циальных уравнений в частных производных, а также уравнений в свертках, встречающихся в механике, физике и технике. Много внимания уделяется также методике решения возникающих краевых задач (задач Коши, мно­готочечных краевых задач и т. д.).

Во второй части книги рассматривается представле­ние некоторых механических и физических величин (связанные векторы, сосредоточенные нагрузки, моменты систем материальных точек, электрические величины) через обобщенные функции. Это представление выявляет единство математического описания непрерывных и раз­рывных явлений. Приводятся примеры применения в ме­ханике (общие теоремы, задачи Коши для материальной точки, линейные колебания, задачи для балки и нитей, краевые задачи теории упругости), физике (в акустике — эффект Доплера, в оптике — явление дифракции, в ис­следовании электростатического поля — выражения для напряженности и потенциала) и электротехнике (сила тока и электрический заряд, полное сопротивление и проводимость электрических цепей, отрицательные час­тоты, установившиеся и переходные процессы, линейные динамические системы, стационарные системы, диффе­ренцирующие цепочки и т. д.). Приведены также неко­торые характерные задачи, подчеркивающие эффектив­ность применения обобщенных функций.

Следует отметить, что наряду с известными резуль­татами авторы приводят большое количество и новых. В книге излагается методика подхода к различным зада­чам, которая  иллюстрируется  примерами, выявляются различные стороны этой методики, а также трудности, которые при этом могут возникнуть.

Цель книги в том, чтобы привлечь внимание к воз­можностям использования соврехменного математического аппарата при изучении некоторых механических или фи­зических явлений, а также в технике, т. е. книга обра­щена к широкому кругу читателей, применяющих мате­матические методы, и особенно к тем, кто должен решать дифференциальные уравнения: инженерам, занимающим­ся проектированием и исследовательской работой в раз­личных областях, механикам, физикам, студентам выс­ших учебных заведений.

23 апреля 1975 г.

Авторы