G. L. LAMB, JR.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава 1. Введение 10
1.1. Уравнение Штурма — Лиувилля 11
1.2. Уравнение Кортевега — де Фриза 13
1.3. Многосолитонные решения как потенциалы Баргмана 17
1.4. Физическая система, приводящая к уравнению Кортевега—де Фриза 22
1.5. Распространение на случай других нелинейных уравнений .... 29
1.6. План дальнейшего изложения 30
Глава 2. Вопросы одномерной теории рассеяния 32
2.1. Колебания струны 32
2.2. Рассеяние осциллятором 36
2.3. Упруго закрепленная струна 39
2.4. Уравнение Шрёдингера 43
2.5. Рассеяние потенциалом вида зесЬ2 45
2.6. Соответствующие уравнения Штурма — Лиувилля 48
2.7. Двумерные волны в неоднородной среде 51
2.8. Общий подход к проблеме рассеяния 56
2.9. «Обрезанные» потенциалы 70
2.10. Рассеяние импульсов — уравнения Марченко 73
2.11. Задача рассеяния Захарова — Шабата 78
2.12. Связь между уравнением Шрёдингера и уравнениями Захарова — Шабата: уравнения Риккати 91
Глава 3. Одномерная обратная задача рассеяния 95
3.1. Соотношение между потенциалом и функциями Ак{х, у) и А^х, у) . 95
3.2. Наличие связанных состояний . 98
3.3. Безотражательные потенциалы 101
3.4. Коэффициент отражения — рациональная функция к 103
3.5. Потенциалы Баргмана 106
3.6. Метод обратной задачи рассеяния Захарова — Шабата для действительных потенциалов 109
3.7. Безотражательные потенциалы для системы Захарова — Шабата . .112
3.8. Коэффициент отражения для системы Захарова — Шабата в виде рациональной функции к 115
3.9. Система Захарова — Шабата с комплексным потенциалом , . , ,116
Глава 4. Уравнение Кортевега — де Фриза 122
4.1. Стационарное решение 122
4.2. Результаты численных решений 124
4.3. Обратная задача рассеяния и уравнение Кортевега — де Фриза . . 127
4.4. Многосолитонные решения 130
4.5. Сохраняющиеся величины 134
4.6. Начальный профиль импульса в виде 8'(х): автомодельное решение 138
4.7. Другой подход к линейным уравнениям для уравнения Кортевега — де Фриза 140
Глава 5. Некоторые эволюционные уравнения, связанные с системой Захарова — Шабата 142
5.1. Модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза 143
5.2. Уравнение зше-Оогбоп 152
5.3. Кубическое уравнение Шрёдингера 164
5.4. Общий класс разрешимых нелинейных эволюционных уравнений . . 169
Глава 6. Приложения I 178
6.1. Волны на мелкой воде и уравнение Кортевега — де Фриза .... 178
6.2. Волны на мелкой воде и кубическое уравнение Шрёдингера .... 183
6.3. Ионно-звуковые волны в плазме и уравнение Кортевега — де Фриза 186
6.4. Классическая модель одномерной теории дислокаций — уравнение зше-Оогбоп 190
6.5. Выбор параметров разложения 194
Глава 7. Приложения II 198
7.1. Самоиндуцированный вихрь 199
7.2. Движение нити 202
7.3. Форма односолитонной нити 205
7.4. Другие солитонные уравнения 208
7.5. Описание электромагнитного поля 213
7.6. Двухуровневый атом 214
7.7. Уравнения модели 216
7.8. Неподвижные атомы — предел вте-Оогбоп 218
7.9. Движущиеся атомы и теорема площадей 221
7.10. Решение методом обратной задачи 224
7.11. Распространение в усилителе 229
7.12. Метод обратной задачи 234
7.13. Вырождение уровней 245
Глава 8. Преобразования Бэклунда 249
8.1. Преобразование Бэклунда для уравнения Кортевега — де Фриза . . 249
8.2. Преобразования Бэклунда для некоторых других эволюционных уравнений 256
8.3. Более общие преобразования Бэклунда . . 261
Глава 9. Теория возмущений 267
Уравнение Кортевега — де Фриза 267
9.1. Основные уравнения 267
9.2. Возмущение односолитонного решения 270
Кубическое уравнение Шрёдингера 279
9.3. Основные уравнения 279
9.4. Затухание единичного солитона 282
Литература 286
Дополнительная литература 291
