Перевод второго, переработанного автором издания содержит систематическое изложение той части теории вероятностей, которая имеет дело с дискретными множествами элементарных событий (конечными и счётными).
Такой выбор материала позволил автору без использования сложного аналитического аппарата ввести читателя в круг основных идей теории вероятностей и её приложений.
Особый интерес книга представит для биологов, для которых методы теории вероятностей являются главными математическими методами.
***
ОГЛАВЛЕНИЕ (том 1)
Предисловие переводчика 5
Из предисловия ко второму русскому изданию 5
Предисловие к третьему изданию 18
Предисловие к пересмотренному третьему изданию 10
Предисловие к первому изданию 12
Как пользоваться этой книгой 13
Введение. Природа теории вероятностей 17
§ 1. Исходные представления 17
§ 2. Способ изложения 19
§ 3. «Статистическая» вероятность 20
§ 4. Резюме 21
§ 5. Исторические замечания 22
Глава I. Пространства элементарных событий 24
§ 1. Эмпирические основания 24
§ 2. Примеры 26
§ 3. Пространство элементарных событий. События 31
§ 4. Отношения между событиями 32
§ 5. Дискретные пространства элементарных событий 35
§ 6. Вероятности в дискретных пространствах элементарных событий; подготовительные замечания 37
§ 7. Основные определения и соотношения 41
§ 8. Задачи 43
Глава II. Элементы комбинаторного анализа 46
§ 1. Предварительные сведения 46
§ 2. Упорядоченные выборки 48
§ 3. Примеры 51
§ 4. Подмножества и разбиения 54
§ 5. Приложение к задачам о размещении 58
§ 6. Гипергеометрическое распределение 63
§ 7. Примеры, связанные с временем ожидания . 67
§ 8. Биномиальные коэффициенты 70
§ 9. Формула Стерлинга 71
§ 10. Упражнения и примеры 74
§ 11. Задачи и дополнения теоретического характера 77
§ 12. Задачи и тождества, содержащие биномиальные коэффициенты 81
Глава III. Флуктуации при бросании монеты и случайные блуждания 85
§ 1. Основные понятия. Принцип отражения 86
§ 2. Случайные блуждания; основные понятия и обозначения 91
§ 3, Основная лемма 94
§ 4. Последнее попадание и продолжительные лидирования 96
§ 5. Перемены знака 102
§ 6. Результат эксперимента 105
§ 7. Максимумы и первые достижения 107
§ 8. Двойственность. Положение максимума 110
§ 9. Теорема о равнораспределенности 113
§ 10. Задачи 114
Глава IV. Комбинации событий 117
§ 1. Объединение событий 117
§ 2. Приложение к классической задаче о размещении 120
§ 3. Осуществление т из N событий 124
§ 4. Приложение к задачам о совпадениях и к задаче об угадывании 125
§ 5. Различные дополнения 128
§ 6. Задачи 129
Глава V. Условная вероятность. Стохастическая независимость .... 132
§ 1. Условная вероятность 132
§ 2. Вероятности, определяемые через условные вероятности. Урновые модели 136
§ 3. Стохастическая независимость 143
§ 4. Произведение пространств. Независимые испытания 146
§ 5. Приложения к генетике 150
§ 6. Признаки, сцепленные с полом 155
§ 7. Селекция 157
§ 8. Задачи 159
Глава VI. Биномиальное распределение и распределение Пуассона .... 163
§ 1. Испытания Бернулли 163
§ 2. Биномиальное распределение 164
§ 3. Максимальная вероятность и «хвосты» 167
§ 4. Закон больших чисел 169
§ 5. Пуассоновское приближение 170
§ 6. Распределение Пуассона 173
§ 7. Наблюдения, соответствующие распределению Пуассона ... 176
§ 8. Время ожидания. Отрицательное биномиальное распределение 181
§ 9. Полиномиальное распределение 184
§ 10. Задачи 185
Глава VII. Нормальное приближение для биномиального распределения 190
§ 1. Нормальное распределение 190
§ 2. Симметричные распределения 194
§ 3. Предельная теорема Муавра — Лапласа 197
§ 4. Примеры 201
§ 5. Связь с пуассоновским приближением 204
§ 6. Большие отклонения 206
§ 7. Задачи 207
Глава VIII. Неограниченные последовательности испытаний Бернулли 210
§ 1. Бесконечные последовательности испытаний 210
§ 2. Системы игры 212
§ 3. Леммы Б орел я — Кантелли 215
§ 4. Усиленный закон больших чисел 217
§ 5. Закон повторного логарифма 219
§ 6. Интерпретация на языке теории чисел 223
§ 7. Задачи 224
Глава IX. Случайные величины; математическое ожидание 226
§ 1. Случайные величины 226
§ 2. Математические ожидания 235
§ 3. Примеры и приложения 238
§ 4. Дисперсия 242
§ 5. Ковариация; дисперсия суммы 244
§ 6. Неравенство Чебышева 248
§ 7. Неравенство Колмогорова
§ 8. Коэффициент корреляции 250
§ 9. Задачи
Глава X. Законы больших чисел 257
§ 1. Одинаково распределенные случайные величины 257
§ 2. Доказательство закона больших чисел 261
§ 3. Теория «безобидных» игр 262
§ 4. Петербургская игра
§ 5. Случайные величины с различными распределениями
§ 6. Приложения к комбинаторному анализу 271
§ 7. Усиленный закон больших чисел 273
§ 8. Задачи 275
Глава XI. Целочисленные случайные величины. Производящие функции. 278
§ 1. Общие положения 278
§ 2. Свертки 280
§ 3. Возвращение в начало и времена ожидании в испытаниях Бернулли 284
§ 4. Разложение на простые дроби 289
§ 5. Двойные производящие функции 292
§ 6. Теорема непрерывности
§ 7. Задачи
Глава XII. Сложные распределения. Ветвящиеся процессы 300
§ 1. Суммы случайного числа величин
§ 2. Обобщенное распределение Пуассона 302
§ 3. Примеры ветвящихся процессов
§ 4. Вероятности вырождения ветвящихся процессов 310
§ 5. Общее число частиц в ветвящихся процессах 312
§ 6. Задачи 315
Глава XIII. Рекуррентные события. Теория восстановления 317
§ 1. Неформальное введение и примеры 317
§ 2. Определения
§ 3. Основные соотношения
§ 4. Примеры
§ 5. Рекуррентные события с запаздыванием. Общая предельная теоремa
§ 6. Число появлении
§ 7. Приложения к теории серий успехов
§ 8. События более общего вида
§ 9. Отсутствие памяти для времен ожидания с геометрическим распределением
§ 10. Теория восстановления
§ 11. Доказательство основной предельной теоремы
§ 12. Задачи
Глава XIV. Случайное блуждание и задачи о разорении 356
§ 1. Общие понятия 356
§ 2. Классическая задача о разорении 358
§ 3. Математическое ожидание продолжительности игры 362
§ 4. Производящие функции для продолжительности игры и для времен первого достижения 363
§ 5. Явные выражения 366
§ 6. Связь с диффузионными процессами 368
§ 7. Случайные блуждания на плоскости и в пространстве 374
§ 8. Обобщенное одномерное случайное блуждание (последовательный анализ) " 377
§ 9. Задачи 381
Глава XV. Цепи Маркова 386
§ 1. Определение 386
§ 2. Пояснительные примеры 390
§ 3. Вероятности перехода за несколько шагов 397
§ 4. Замыкания и замкнутые множества 398
§ 5. Классификация состояний 401
§ 6. Неприводимые цепи. Разложения 405
§ 7. Инвариантные распределения 407
§ 8. Невозвратные состояния 414
§ 9. Периодические цепи 419
§ 10. Применение к тасованию карт 421
§ 11. Инвариантные меры. Предельные теоремы для отношений . . 423
§ 12. Обращенные цепи. Границы 429
§ 13. Общий марковский процесс 435
§ 14. Задачи 440
Глава XVI. Алгебраическая трактовка конечных цепей Маркова .... 443
§ 1. Общая теория 443
§ 2. Примеры 447
§ 3. Случайное блуждание с отражающими экранами 451
§ 4. Невозвратные состояния; вероятности поглощения 453
§ 5. Приложение к временам возвращения 457
Глава XVII. Простейшие стохастические процессы с непрерывным временем 459
§ 1. Общие понятия. Марковские процессы 459
§ 2. Пуассоновский процесс 461
§ 3. Процесс чистого размножения 463
§ 4. Расходящийся процесс размножения . , 466
§ 5. Процесс размножения и гибели 469
§ 6. Показательные времена обслуживания 473
§ 7. Очереди и задачи обслуживания 475
§ 8. Обратные (обращенные в прошлое) уравнения 482
§ 9. Процессы общего вида 484
§ 10. Задачи 493
Ответы к задачам 497
Именной указатель 510
Предметный указатель 513
****
ОГЛАВЛЕНИЕ (том 2)
Из предисловия к русскому изданию 1967 г 5
От переводчика 6
Предисловие к первому изданию 7
Предисловие ко второму изданию Ю
Обозначения . , 12
Глава I. Показательные и равномерные плотности 13
§ 1. Введение 13
§ 2. Плотности. Свертки 15
§ 3. Показательная плотность 21
§ 4. Парадоксы, связанные с временем ожидания. Пуассоновский процесс 24
§ 5. Устойчивость неудач 29
§ 6. Времена ожидания и порядковые статистики 31
§ 7. Равномерное распределение . 35
§ 8. Случайные разбиения 39
§ 9. Свертки и теоремы о покрытии 41
§ 10. Случайные направления 44
§ 11. Использование меры Лебега 48
§ 12. Эмпирические распределения 51
§ 13. Задачи 54
Глава II. Специальные плотности. Рандомизация 60
§ 1. Обозначения и определения 60
§ 2. Гамма-распределения 62
§ 3. Распределения математической статистики, связанные с гамма-распределением 63
§ 4. Некоторые распространенные плотности 65
§ 5. Рандомизация и смеси 69
§ 6. Дискретные распределения 72
§ 7. Бесселевы функции и случайные блуждания 74
§ 8. Распределения на окружности . . 78
§ 9. Задачи 81
Глава III. Многомерные плотности. Нормальные плотности и процессы 84
§ 1. Плотности 84
§ 2. Условные распределения 90
§ 3. Возвращение к показательному и равномерному распределениям 92
§ 4. Характеризация нормального распределения 96
§ 5. Матричные обозначения. Ковариационная матрица 99
§ 6, Нормальные плотности и распределения 102
§ 7. Стационарные нормальные процессы 107
§ 8. Марковские нормальные плотности 115
§ 9. Задачи 120
Глава IV. Вероятностные меры и пространства 124
§ 1. Бэровские функции 125
§ 2. Функции интервалов и интегралы в ГАГ 128
§ 3. а-алгебры. Измеримость 134
§ 4. Вероятностные пространства. Случайные величины 138
§ 5. Теорема о продолжении 142
§ 6. Произведения пространств. Последовательности независимых случайных величин 145
§ 7. Нулевые множества. Пополнение 149
Глава V. Вероятностные распределения в у{г 151
§ 1. Распределения и математические ожидания 152
§ 2. Предварительные сведения 162
§ 3. Плотности 164
§ 4. Свертки 164
§ 5. Симметризация 175
§ 6. Интегрирование по частям. Существование моментов 178
§ 7. Неравенство Чебышева . 179
§ 8. Дальнейшие неравенства. Выпуклые функции 180
§ 9. Простые условные распределения. Смеси 185
§ 10. Условные распределения 189
§ 11. Условные математические ожидания 191
§ 12. Задачи 195
Глава VI. Некоторые важные распределения и процессы 198
§ 1. Устойчивые распределения в 198
§ 2. Примеры 203
§ 3. Безгранично делимые распределения в 206
§ 4. Процессы с независимыми приращениями 210
§ 5. Обобщенные пуассоновские процессы и задачи о разорении . . 213
§ 6. Процессы восстановления 215
§ 7. Примеры и задачи 219
§ 8. Случайные блуждания 224
§ 9. Процессы массового обслуживания 228
§ 10. Возвратные и невозвратные случайные блуждания 235
§ 11. Общие марковские цепи 240
§ 12. Мартингалы 245
§ 13. Задачи 252
Глава VII. Законы больших чисел. Применения в анализе 255
§ 1. Основная лемма. Обозначения 255
§ 2. Полиномы Бернштейна. Абсолютно монотонные функции 258
§ 3. Проблема моментов 260
§ 4. Применение к симметрично зависимым случайным величинам 265
§ 5. Обобщенная формула Тейлора и полугруппы 267
§ 6. Формулы обращения для преобразования Лапласа 270
§ 7. Законы больших чисел для одинаково распределенных случайных величин 271
§ 8. Усиленный закон больших чисел 275
Глава VIII. Основные предельные теоремы 285
§ 1. Сходимость мер 285
§ 2. Специальные свойства 291
§ 3. Распределения как операторы 293
§ 4. Центральная предельная теорема 297
§ 5. Бесконечные свертки . . . 305
§ 6. Теоремы о выборе 307
§ 7. Эргодические теоремы для цепей Маркова 311
§ 8. Правильно меняющиеся функции 315
§ 9. Асимптотические свойства правильно меняющихся функций . . 320
§ 10. Задачи 326
Глава IX. Безгранично делимые распределения и полугруппы 332
§ 1. Общее знакомство с темой 332
§ 2. Полугруппы со сверткой 335
§ 3. Подготовительные леммы 339
§ 4. Случай конечных дисперсий 341
§ 5. Основные теоремы 343
§ 6. Пример: устойчивые полугруппы 349
§ 7. Схемы серий с одинаковыми распределениями 352
§ 8. Области притяжения 356
§ 9. Различные распределения. Теорема о трех рядах 360
§ 10. Задачи 363
Глава X. Марковские процессы и полугруппы 366
§ 1. Псевдопуассоновский тип 367
§ 2. Вариант: линейные приращения . 369
§ 3. Скачкообразные процессы 371
§ 4. Диффузионные процессы в ГЯ1 378
§ 5. Прямое уравнение. Граничные условия 383
§ 6. Диффузия в многомерном случае 390
§ 7. Подчиненные процессы 392
§ 8. Марковские процессы и полугруппы 396
§ 9. «Показательная формула» в теории полугрупп 400
§ 10. Производящие операторы. Обратное уравнение 403
Глава XI. Теория восстановления 406
§ 1. Теорема восстановления 406
§ 2. Доказательство теоремы восстановления 412
§ 3. Уточнения 415
§ 4. Устойчивые (возвратные) процессы восстановления 417
§ 5. Число N7 моментов восстановления 422
§ 6. Обрывающиеся (невозвратные) процессы 424
§ 7. Различные применения 427
§ 8. Существование пределов в случайных процессах 429
§ 9. Теория восстановления на всей прямой 431
§ 10. Задачи 437
Глава XII. Случайные блуждания в ЗР 440
§ 1. Основные понятия и обозначения 441
§ 2. Двойственность. Типы случайных блужданий 445
§ 3. Распределение лестничных высот. Факторизация Винера — Хопфа 450
§ 4. Примеры 457
§ 5. Применения 461
§ 6. Одна комбинаторная лемма 465
§ 7. Распределение лестничных моментов 466
§ 8. Закон арксинуса 470
§ 9. Различные дополнения 477
§ 10. Задачи 479
Глава XIII. Преобразование Лапласа. Тауберовы теоремы. Резольвенты 484
§ 1. Определения. Теорема непрерывности 484
§ 2. Элементарные свойства 489
§ 3. Примеры 492
§ 4. Вполне монотонные функции. Формулы обращения 495
§ 5. Тауберовы теоремы 498
§ 6. Устойчивые распределения 504
§ 7. Безгранично делимые распределения 506
§ 8. Многомерный случай 509
§ 9. Преобразования Лапласа для полугрупп 511
§ 10. Теорема Хилле—Иосиды 516
§ 11. Задачи 521
Глава XIV. Применение преобразования Лапласа 524
§ 1. Уравнение восстановления: теория 524
§ 2. Уравнение типа уравнения восстановления: примеры 526
§ 3. Предельные теоремы, включающие распределения арксинуса 529
§ 4. Периоды занятости и соответствующие ветвящиеся процессы 531
§ 5. Диффузионные процессы 534
§ 6. Процессы размножения и гибели. Случайные блуждания . . . 538
§ 7. Дифференциальные уравнения Колмогорова 543
§ 8. Пример: чистый процесс размножения 548
§ 9. Вычисление эргодических пределов и времен первого прохождения 551
§ 10. Задачи 555
Глава XV. Характеристические функции 558
§ 1. Определение. Основные свойства 558
§ 2. Специальные плотности. Смеси 562
§ 3. Единственность. Формулы обращения 568
§ 4. Свойства регулярности 573
§ 5. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 576
§ 6. Условие Линдеберга 580
§ 7. Характеристические функции многомерных распределений . . 584
§ 8. Две характеризации нормального распределения 587
§ 9. Задачи 590
Глава XVI. Асимптотические разложения, связанные с центральной предельной теоремой 595
§ 1. Обозначения 596
§ 2. Асимптотические разложения для плотностей 597
§ 3. Сглаживание 601
§ 4. Асимптотические разложения для распределений 604
§ 5. Теорема Берри—Эссеена 608
§ 6. Асимптотические разложения в случае различно распределенных слагаемых 612
§ 7. Большие отклонения 615
Глава XVII. Безгранично делимые распределения 621
§ 1. Безгранично делимые распределения 621
§ 2. Канонические формы. Основная предельная теорема 62о
§ 3. Примеры и специальные свойства 634
§ 4. Специальные свойства 638
§ 5. Устойчивые распределения и их области притяжения .... 643
§ 6. Устойчивые плотности 651
§ 7. Схема серий 6оЗ
§ 8. Класс I 659
§ 9. Частичное притяжение. «Универсальные законы» 661
§ 10. Бесконечные свертки 664
§ 11. Многомерный случай 665
§ 12. Задачи 666
Глава XVIII. Применение методов Фурье к случайным блужданиям . . 670
§ 1. Основное тождество 670
§ 2. Конечные интервалы. Вальдовская аппроксимация 673
§ 3. Факторизация Винера — Хопфа 676
§ 4. Выводы и применения 682
§ 5. Две более основательные теоремы 685
§ 6. Критерии возвратности 687
§ 7. Задачи 690
Глава XIX. Гармонический анализ 693
§ 1. Равенство Парсеваля 693
§ 2. Положительно определенные функции 695
§ 3. Стационарные процессы 697
§ 4. Ряды Фурье 701
§ 5. Формула суммирования Пуассона 704
§ 6. Положительно определенные последовательности 708
§ 7. /Атеория 711
§ 8. Случайные процессы и стохастические интегралы 718
§ 9. Задачи 725
Ответы на задачи 728
Литература 732
Предметный указатель 734
Именной указатель 744
