Твърди корици, среден формат | 1280 стр. | 1359 гр.
Перевод второго, переработанного автором издания содержит систематическое изложение той части теории вероятностей, которая имеет дело с дискретными множествами элементарных событий (конечными и счётными).
Такой выбор материала позволил автору без использования сложного аналитического аппарата ввести читателя в круг основных идей теории вероятностей и её приложений.
Особый интерес книга представит для биологов, для которых методы теории вероятностей являются главными математическими методами.
Второй том всемирно известного двухтомного курса теории вероятностей, написанного выдающимся американским математиком. Классическое учебное руководство, оказавшее значительное влияние на развитие современной теории вероятностей и подготовку специалистов. Перевод заново выполнен со второго переработанного автором издания. Предыдущее издание выходило в русском переводе (М.: Мир, 196 7).
Для математиков — от студентов до специалистов по теории вероятностей, для физиков и инженеров, применяющих вероятностные методы.
***
ОГЛАВЛЕНИЕ (том 1)
Предисловие переводчика 5
Из предисловия ко второму русскому изданию 5
Предисловие к третьему изданию 18
Предисловие к пересмотренному третьему изданию 10
Предисловие к первому изданию 12
Как пользоваться этой книгой 13
Введение. Природа теории вероятностей 17
§ 1. Исходные представления 17
§ 2. Способ изложения 19
§ 3. «Статистическая» вероятность 20
§ 4. Резюме 21
§ 5. Исторические замечания 22
Глава I. Пространства элементарных событий 24
§ 1. Эмпирические основания 24
§ 2. Примеры 26
§ 3. Пространство элементарных событий. События 31
§ 4. Отношения между событиями 32
§ 5. Дискретные пространства элементарных событий 35
§ 6. Вероятности в дискретных пространствах элементарных событий; подготовительные замечания 37
§ 7. Основные определения и соотношения 41
§ 8. Задачи 43
Глава II. Элементы комбинаторного анализа 46
§ 1. Предварительные сведения 46
§ 2. Упорядоченные выборки 48
§ 3. Примеры 51
§ 4. Подмножества и разбиения 54
§ 5. Приложение к задачам о размещении 58
§ 6. Гипергеометрическое распределение 63
§ 7. Примеры, связанные с временем ожидания . 67
§ 8. Биномиальные коэффициенты 70
§ 9. Формула Стерлинга 71
§ 10. Упражнения и примеры 74
§ 11. Задачи и дополнения теоретического характера 77
§ 12. Задачи и тождества, содержащие биномиальные коэффициенты 81
Глава III. Флуктуации при бросании монеты и случайные блуждания 85
§ 1. Основные понятия. Принцип отражения 86
§ 2. Случайные блуждания; основные понятия и обозначения 91
§ 3, Основная лемма 94
§ 4. Последнее попадание и продолжительные лидирования 96
§ 5. Перемены знака 102
§ 6. Результат эксперимента 105
§ 7. Максимумы и первые достижения 107
§ 8. Двойственность. Положение максимума 110
§ 9. Теорема о равнораспределенности 113
§ 10. Задачи 114
Глава IV. Комбинации событий 117
§ 1. Объединение событий 117
§ 2. Приложение к классической задаче о размещении 120
§ 3. Осуществление т из N событий 124
§ 4. Приложение к задачам о совпадениях и к задаче об угадывании 125
§ 5. Различные дополнения 128
§ 6. Задачи 129
Глава V. Условная вероятность. Стохастическая независимость .... 132
§ 1. Условная вероятность 132
§ 2. Вероятности, определяемые через условные вероятности. Урновые модели 136
§ 3. Стохастическая независимость 143
§ 4. Произведение пространств. Независимые испытания 146
§ 5. Приложения к генетике 150
§ 6. Признаки, сцепленные с полом 155
§ 7. Селекция 157
§ 8. Задачи 159
Глава VI. Биномиальное распределение и распределение Пуассона .... 163
§ 1. Испытания Бернулли 163
§ 2. Биномиальное распределение 164
§ 3. Максимальная вероятность и «хвосты» 167
§ 4. Закон больших чисел 169
§ 5. Пуассоновское приближение 170
§ 6. Распределение Пуассона 173
§ 7. Наблюдения, соответствующие распределению Пуассона ... 176
§ 8. Время ожидания. Отрицательное биномиальное распределение 181
§ 9. Полиномиальное распределение 184
§ 10. Задачи 185
Глава VII. Нормальное приближение для биномиального распределения 190
§ 1. Нормальное распределение 190
§ 2. Симметричные распределения 194
§ 3. Предельная теорема Муавра — Лапласа 197
§ 4. Примеры 201
§ 5. Связь с пуассоновским приближением 204
§ 6. Большие отклонения 206
§ 7. Задачи 207
Глава VIII. Неограниченные последовательности испытаний Бернулли 210
§ 1. Бесконечные последовательности испытаний 210
§ 2. Системы игры 212
§ 3. Леммы Б орел я — Кантелли 215
§ 4. Усиленный закон больших чисел 217
§ 5. Закон повторного логарифма 219
§ 6. Интерпретация на языке теории чисел 223
§ 7. Задачи 224
Глава IX. Случайные величины; математическое ожидание 226
§ 1. Случайные величины 226
§ 2. Математические ожидания 235
§ 3. Примеры и приложения 238
§ 4. Дисперсия 242
§ 5. Ковариация; дисперсия суммы 244
§ 6. Неравенство Чебышева 248
§ 7. Неравенство Колмогорова
§ 8. Коэффициент корреляции 250
§ 9. Задачи
Глава X. Законы больших чисел 257
§ 1. Одинаково распределенные случайные величины 257
§ 2. Доказательство закона больших чисел 261
§ 3. Теория «безобидных» игр 262
§ 4. Петербургская игра
§ 5. Случайные величины с различными распределениями
§ 6. Приложения к комбинаторному анализу 271
§ 7. Усиленный закон больших чисел 273
§ 8. Задачи 275
Глава XI. Целочисленные случайные величины. Производящие функции. 278
§ 1. Общие положения 278
§ 2. Свертки 280
§ 3. Возвращение в начало и времена ожидании в испытаниях Бернулли 284
§ 4. Разложение на простые дроби 289
§ 5. Двойные производящие функции 292
§ 6. Теорема непрерывности
§ 7. Задачи
Глава XII. Сложные распределения. Ветвящиеся процессы 300
§ 1. Суммы случайного числа величин
§ 2. Обобщенное распределение Пуассона 302
§ 3. Примеры ветвящихся процессов
§ 4. Вероятности вырождения ветвящихся процессов 310
§ 5. Общее число частиц в ветвящихся процессах 312
§ 6. Задачи 315
Глава XIII. Рекуррентные события. Теория восстановления 317
§ 1. Неформальное введение и примеры 317
§ 2. Определения
§ 3. Основные соотношения
§ 4. Примеры
§ 5. Рекуррентные события с запаздыванием. Общая предельная теоремa
§ 6. Число появлении
§ 7. Приложения к теории серий успехов
§ 8. События более общего вида
§ 9. Отсутствие памяти для времен ожидания с геометрическим распределением
§ 10. Теория восстановления
§ 11. Доказательство основной предельной теоремы
§ 12. Задачи
Глава XIV. Случайное блуждание и задачи о разорении 356
§ 1. Общие понятия 356
§ 2. Классическая задача о разорении 358
§ 3. Математическое ожидание продолжительности игры 362
§ 4. Производящие функции для продолжительности игры и для времен первого достижения 363
§ 5. Явные выражения 366
§ 6. Связь с диффузионными процессами 368
§ 7. Случайные блуждания на плоскости и в пространстве 374
§ 8. Обобщенное одномерное случайное блуждание (последовательный анализ) " 377
§ 9. Задачи 381
Глава XV. Цепи Маркова 386
§ 1. Определение 386
§ 2. Пояснительные примеры 390
§ 3. Вероятности перехода за несколько шагов 397
§ 4. Замыкания и замкнутые множества 398
§ 5. Классификация состояний 401
§ 6. Неприводимые цепи. Разложения 405
§ 7. Инвариантные распределения 407
§ 8. Невозвратные состояния 414
§ 9. Периодические цепи 419
§ 10. Применение к тасованию карт 421
§ 11. Инвариантные меры. Предельные теоремы для отношений . . 423
§ 12. Обращенные цепи. Границы 429
§ 13. Общий марковский процесс 435
§ 14. Задачи 440
Глава XVI. Алгебраическая трактовка конечных цепей Маркова .... 443
§ 1. Общая теория 443
§ 2. Примеры 447
§ 3. Случайное блуждание с отражающими экранами 451
§ 4. Невозвратные состояния; вероятности поглощения 453
§ 5. Приложение к временам возвращения 457
Глава XVII. Простейшие стохастические процессы с непрерывным временем 459
§ 1. Общие понятия. Марковские процессы 459
§ 2. Пуассоновский процесс 461
§ 3. Процесс чистого размножения 463
§ 4. Расходящийся процесс размножения . , 466
§ 5. Процесс размножения и гибели 469
§ 6. Показательные времена обслуживания 473
§ 7. Очереди и задачи обслуживания 475
§ 8. Обратные (обращенные в прошлое) уравнения 482
§ 9. Процессы общего вида 484
§ 10. Задачи 493
Ответы к задачам 497
Именной указатель 510
Предметный указатель 513
****
ОГЛАВЛЕНИЕ (том 2)
Из предисловия к русскому изданию 1967 г 5
От переводчика 6
Предисловие к первому изданию 7
Предисловие ко второму изданию Ю
Обозначения . , 12
Глава I. Показательные и равномерные плотности 13
§ 1. Введение 13
§ 2. Плотности. Свертки 15
§ 3. Показательная плотность 21
§ 4. Парадоксы, связанные с временем ожидания. Пуассоновский процесс 24
§ 5. Устойчивость неудач 29
§ 6. Времена ожидания и порядковые статистики 31
§ 7. Равномерное распределение . 35
§ 8. Случайные разбиения 39
§ 9. Свертки и теоремы о покрытии 41
§ 10. Случайные направления 44
§ 11. Использование меры Лебега 48
§ 12. Эмпирические распределения 51
§ 13. Задачи 54
Глава II. Специальные плотности. Рандомизация 60
§ 1. Обозначения и определения 60
§ 2. Гамма-распределения 62
§ 3. Распределения математической статистики, связанные с гамма-распределением 63
§ 4. Некоторые распространенные плотности 65
§ 5. Рандомизация и смеси 69
§ 6. Дискретные распределения 72
§ 7. Бесселевы функции и случайные блуждания 74
§ 8. Распределения на окружности . . 78
§ 9. Задачи 81
Глава III. Многомерные плотности. Нормальные плотности и процессы 84
§ 1. Плотности 84
§ 2. Условные распределения 90
§ 3. Возвращение к показательному и равномерному распределениям 92
§ 4. Характеризация нормального распределения 96
§ 5. Матричные обозначения. Ковариационная матрица 99
§ 6, Нормальные плотности и распределения 102
§ 7. Стационарные нормальные процессы 107
§ 8. Марковские нормальные плотности 115
§ 9. Задачи 120
Глава IV. Вероятностные меры и пространства 124
§ 1. Бэровские функции 125
§ 2. Функции интервалов и интегралы в ГАГ 128
§ 3. а-алгебры. Измеримость 134
§ 4. Вероятностные пространства. Случайные величины 138
§ 5. Теорема о продолжении 142
§ 6. Произведения пространств. Последовательности независимых случайных величин 145
§ 7. Нулевые множества. Пополнение 149
Глава V. Вероятностные распределения в у{г 151
§ 1. Распределения и математические ожидания 152
§ 2. Предварительные сведения 162
§ 3. Плотности 164
§ 4. Свертки 164
§ 5. Симметризация 175
§ 6. Интегрирование по частям. Существование моментов 178
§ 7. Неравенство Чебышева . 179
§ 8. Дальнейшие неравенства. Выпуклые функции 180
§ 9. Простые условные распределения. Смеси 185
§ 10. Условные распределения 189
§ 11. Условные математические ожидания 191
§ 12. Задачи 195
Глава VI. Некоторые важные распределения и процессы 198
§ 1. Устойчивые распределения в 198
§ 2. Примеры 203
§ 3. Безгранично делимые распределения в 206
§ 4. Процессы с независимыми приращениями 210
§ 5. Обобщенные пуассоновские процессы и задачи о разорении . . 213
§ 6. Процессы восстановления 215
§ 7. Примеры и задачи 219
§ 8. Случайные блуждания 224
§ 9. Процессы массового обслуживания 228
§ 10. Возвратные и невозвратные случайные блуждания 235
§ 11. Общие марковские цепи 240
§ 12. Мартингалы 245
§ 13. Задачи 252
Глава VII. Законы больших чисел. Применения в анализе 255
§ 1. Основная лемма. Обозначения 255
§ 2. Полиномы Бернштейна. Абсолютно монотонные функции 258
§ 3. Проблема моментов 260
§ 4. Применение к симметрично зависимым случайным величинам 265
§ 5. Обобщенная формула Тейлора и полугруппы 267
§ 6. Формулы обращения для преобразования Лапласа 270
§ 7. Законы больших чисел для одинаково распределенных случайных величин 271
§ 8. Усиленный закон больших чисел 275
Глава VIII. Основные предельные теоремы 285
§ 1. Сходимость мер 285
§ 2. Специальные свойства 291
§ 3. Распределения как операторы 293
§ 4. Центральная предельная теорема 297
§ 5. Бесконечные свертки . . . 305
§ 6. Теоремы о выборе 307
§ 7. Эргодические теоремы для цепей Маркова 311
§ 8. Правильно меняющиеся функции 315
§ 9. Асимптотические свойства правильно меняющихся функций . . 320
§ 10. Задачи 326
Глава IX. Безгранично делимые распределения и полугруппы 332
§ 1. Общее знакомство с темой 332
§ 2. Полугруппы со сверткой 335
§ 3. Подготовительные леммы 339
§ 4. Случай конечных дисперсий 341
§ 5. Основные теоремы 343
§ 6. Пример: устойчивые полугруппы 349
§ 7. Схемы серий с одинаковыми распределениями 352
§ 8. Области притяжения 356
§ 9. Различные распределения. Теорема о трех рядах 360
§ 10. Задачи 363
Глава X. Марковские процессы и полугруппы 366
§ 1. Псевдопуассоновский тип 367
§ 2. Вариант: линейные приращения . 369
§ 3. Скачкообразные процессы 371
§ 4. Диффузионные процессы в ГЯ1 378
§ 5. Прямое уравнение. Граничные условия 383
§ 6. Диффузия в многомерном случае 390
§ 7. Подчиненные процессы 392
§ 8. Марковские процессы и полугруппы 396
§ 9. «Показательная формула» в теории полугрупп 400
§ 10. Производящие операторы. Обратное уравнение 403
Глава XI. Теория восстановления 406
§ 1. Теорема восстановления 406
§ 2. Доказательство теоремы восстановления 412
§ 3. Уточнения 415
§ 4. Устойчивые (возвратные) процессы восстановления 417
§ 5. Число N7 моментов восстановления 422
§ 6. Обрывающиеся (невозвратные) процессы 424
§ 7. Различные применения 427
§ 8. Существование пределов в случайных процессах 429
§ 9. Теория восстановления на всей прямой 431
§ 10. Задачи 437
Глава XII. Случайные блуждания в ЗР 440
§ 1. Основные понятия и обозначения 441
§ 2. Двойственность. Типы случайных блужданий 445
§ 3. Распределение лестничных высот. Факторизация Винера — Хопфа 450
§ 4. Примеры 457
§ 5. Применения 461
§ 6. Одна комбинаторная лемма 465
§ 7. Распределение лестничных моментов 466
§ 8. Закон арксинуса 470
§ 9. Различные дополнения 477
§ 10. Задачи 479
Глава XIII. Преобразование Лапласа. Тауберовы теоремы. Резольвенты 484
§ 1. Определения. Теорема непрерывности 484
§ 2. Элементарные свойства 489
§ 3. Примеры 492
§ 4. Вполне монотонные функции. Формулы обращения 495
§ 5. Тауберовы теоремы 498
§ 6. Устойчивые распределения 504
§ 7. Безгранично делимые распределения 506
§ 8. Многомерный случай 509
§ 9. Преобразования Лапласа для полугрупп 511
§ 10. Теорема Хилле—Иосиды 516
§ 11. Задачи 521
Глава XIV. Применение преобразования Лапласа 524
§ 1. Уравнение восстановления: теория 524
§ 2. Уравнение типа уравнения восстановления: примеры 526
§ 3. Предельные теоремы, включающие распределения арксинуса 529
§ 4. Периоды занятости и соответствующие ветвящиеся процессы 531
§ 5. Диффузионные процессы 534
§ 6. Процессы размножения и гибели. Случайные блуждания . . . 538
§ 7. Дифференциальные уравнения Колмогорова 543
§ 8. Пример: чистый процесс размножения 548
§ 9. Вычисление эргодических пределов и времен первого прохождения 551
§ 10. Задачи 555
Глава XV. Характеристические функции 558
§ 1. Определение. Основные свойства 558
§ 2. Специальные плотности. Смеси 562
§ 3. Единственность. Формулы обращения 568
§ 4. Свойства регулярности 573
§ 5. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 576
§ 6. Условие Линдеберга 580
§ 7. Характеристические функции многомерных распределений . . 584
§ 8. Две характеризации нормального распределения 587
§ 9. Задачи 590
Глава XVI. Асимптотические разложения, связанные с центральной предельной теоремой 595
§ 1. Обозначения 596
§ 2. Асимптотические разложения для плотностей 597
§ 3. Сглаживание 601
§ 4. Асимптотические разложения для распределений 604
§ 5. Теорема Берри—Эссеена 608
§ 6. Асимптотические разложения в случае различно распределенных слагаемых 612
§ 7. Большие отклонения 615
Глава XVII. Безгранично делимые распределения 621
§ 1. Безгранично делимые распределения 621
§ 2. Канонические формы. Основная предельная теорема 62о
§ 3. Примеры и специальные свойства 634
§ 4. Специальные свойства 638
§ 5. Устойчивые распределения и их области притяжения .... 643
§ 6. Устойчивые плотности 651
§ 7. Схема серий 6оЗ
§ 8. Класс I 659
§ 9. Частичное притяжение. «Универсальные законы» 661
§ 10. Бесконечные свертки 664
§ 11. Многомерный случай 665
§ 12. Задачи 666
Глава XVIII. Применение методов Фурье к случайным блужданиям . . 670
§ 1. Основное тождество 670
§ 2. Конечные интервалы. Вальдовская аппроксимация 673
§ 3. Факторизация Винера — Хопфа 676
§ 4. Выводы и применения 682
§ 5. Две более основательные теоремы 685
§ 6. Критерии возвратности 687
§ 7. Задачи 690
Глава XIX. Гармонический анализ 693
§ 1. Равенство Парсеваля 693
§ 2. Положительно определенные функции 695
§ 3. Стационарные процессы 697
§ 4. Ряды Фурье 701
§ 5. Формула суммирования Пуассона 704
§ 6. Положительно определенные последовательности 708
§ 7. /Атеория 711
§ 8. Случайные процессы и стохастические интегралы 718
§ 9. Задачи 725
Ответы на задачи 728
Литература 732
Предметный указатель 734
Именной указатель 744
