Введение в теорию вероятностей и теорию меры

**

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие 7

Глава I. Вероятность на булевых алгебрах 9

§ 1. Множества и события 9
§ 2. Вероятность на булевой алгебре 12
§ 3. Распределения вероятностей и элементарные случайные величины 15
§ 4. Повторные испытания и статистическая независимость .... 27
§ 5. Пуассоновское приближение для биномиального распределения 35
§ 6. Нормальное приближение для биномиального распределения . . 37
§ 7. Многомерное нормальное приближение для мультиномиального распределения 40
§ 8. Некоторые применения нормального приближения 42
§ 9. Независимые простые случайные величины и центральная предельная теорема 46
§ 10. Условная вероятность 50
§ 11. Законы больших чисел 55
§ 12. Применение закона больших чисел к одной проблеме анализа 60

Глава II. Продолжение меры 63

§ 13. а-алгебры и борелевские пространства 63
§ 14. Монотонные классы 66
§ 15. Меры на булевых полуалгебрах и алгебрах 68
§ 16. Продолжение мер на а-алгебры 75
§ 17. Единственность продолжения меры 79
§ 18. Продолжение и пополнение меры 80
§ 19. Меры на метрических пространствах 83
§ 20. Вероятностные объемы 91
§ 21. Мера Лебега на действительной прямой 98

Глава III. Борелевские отображения 102

§ 22. Элементарные свойства борелевских отображений 102
§ 23. Борелевские отображения в метрические пространства .... 105
§ 24. Борелевские отображения пространств с мерой 110
§ 25. Построение меры Лебега и других мер на интервале единичной длины с помощью двоичных, десятичных и других й ичных разложений 121
§ 26. Изоморфизм пространств с мерой 126
§ 27. Меры на проективных пределах борелевских пространств . . .129

Глава IV. Интегрирование 140

§ 28. Интегрирование неотрицательных функций 140
§ 29. Интегрирование борелевских функций 146
§ 30. Интегрирование комплекснозначных функций ... . , , , . 152
§ 31. Интегрирование относительно вероятностной меры 153
§ 32. Интеграл Римана и интеграл Лебега 154
§ 33. Теорема представления Рисса 156
§ 34. Некоторые интегральные неравенства 167

Глава V. Меры на произведениях пространств 180

§ 35. Переходные меры и теорема Фубини 180
§ 36. Свертка вероятностных мер на Я" 190
§ 37. Мера Лебега в Яп 193
§ 38. Сверточная алгебра 7-1 (Я") 202
§ 39. Аппроксимация функций в пространствах 1р относительно меры Лебега в  203

Глава VI. Гильбертово пространство и условные математические ожидания 210

§ 40. Элементарные свойства банаховых пространств 210
§ 41. Проекции в гильбертовом пространстве 214
§ 42. Ортонормированные последовательности 226
§ 43. Полнота семейства ортогональных полиномов 233
§ 44. Условное математическое ожидание 242
§ 45. Условная вероятность 254
§ 46. Регулярные условные вероятностные распределения 256
§ 47. Теорема Радона — Никодима и теорема Лебега о разложении 263 § 48. Элементарные свойства производных Радона — Никодима . . . 267
§ 49. Закон больших чисел и эргодическая теорема 271
§ 50. Эргодическая теорема с мажорированной сходимостью .... 282

Глава VII. Слабая сходимость вероятностных мер 285

§ 51. Критерии слабой сходимости в пространстве вероятностных мер 285
§ 52. Теорема Прохорова 292
§ 53. Преобразования Фурье вероятностных мер на Як 298

Глава VIII. Инвариантные меры на группах 314

§ 54. Мера Хаара 314
§ 55. Квазиинвариантные меры на однородных пространствах .... 321
§ 56. Теорема Макки — Вейля 328

Список литературы 333

Указатель обозначений 335

Предметный указатель 336

***

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Хорошо известна связь теории вероятностей и теории меры. С точки зрения аксиоматики теории вероятностей А. Н. Колмо­горова эта теория вкладывается в теорию меры и выделяется в ней лишь спецификой изучаемых проблем. Естественна по­этому идея написания книги, посвященной теории вероятностей и теории меры, и таких книг немало. Однако практически все они имеют определенный уклон: либо это теория меры с эле­ментами теории вероятностей, либо теория вероятностей с эле­ментами теории меры. Предлагаемая вниманию читателей книга К- Р. Партасарати представляет собой естественное сплетение этих теорий, и обе теории освещаются в ней с достаточной пол­нотой.

Начинается книга с элементарного введения в теорию ве­роятностей, и в этом введении на примере усиленного закона больших чисел иллюстрируется естественность и необходимость задачи о продолжении меры, к рассмотрению которой автор затем и переходит. Далее изучаются борелевские (измеримые) отображения пространств с мерой друг в друга и в сепара-бельные метрические пространства. Теорема Колмогорова о продолжении согласованных вероятностей выводится из тео­ремы о продолжении меры на проективные пределы прост­ранств с мерой. Затем строится теория интегрирования, изу­чаются меры (в частности, переходные меры) на произведе­ниях пространств, излагается теория условных математических ожиданий. Теорию условных математических ожиданий автор предпочитает строить не на основе теоремы Радона — Нико­дима, а посредством проекций в гильбертовом пространстве. Завершается книга изложением теории слабой сходимости мер (включая критерий Ю. В. Прохорова слабой компактности семей­ства мер на полном сепарабельном метрическом пространстве), элементов теории характеристических функций и теории инвариантных и квазиинвариантных мер на группах и однород­ных пространствах.

В книгу включено множество полезных для усвоения пред­мета примеров и упражнений, конкретизирующих, а иногда и продолжающих общую теорию.

Автор книги профессор К- Р. Партасарати — руководитель Делийского отделения Индийского статистического института, известный специалист в области теории вероятностей, матема­тической статистики и математических основ квантовой меха­ники. На протяжении многих лет советские математики поддер­живают с ним полезные научные контакты.

Книга рассчитана на студентов старших курсов и аспиран­тов физико-математических и технических специальностей, а также на научных работников, желающих глубже познако­миться с теорией меры и теорией вероятностей.

В. В. Сазонов