АННОТАЦИЯ

Пособие содержит материал, составляющий первоначальную основу топологи­ческих знаний. В нем излагаются основные понятия и теоремы общей топологии, гомотопической топологии; даются классификация двумерных поверхностей, основ­ные понятия гладких многообразий и их отображений; рассматриваются элементы теории Морса и теории гомологии с приложениями к неподвижным точкам. Обсуж­даются взаимосвязи с понятиями математического анализа, геометрии, механики, дифференциальных уравнений.

Предназначается для студентов вузов. Может быть полезно преподавателям, а также всем тем, кто желает познакомиться с началами топологии.

**

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава I. Первые понятия топологии 5

§ 1. Что такое топология? 7

§ 2. Обобщение понятий пространства и функции . 12
1. Метрическое пространство (12). 2. Сходящиеся последовательности и непрерывные отображения (13)

§ 3. От метрического пространства к топологическому (наглядный материал) . . 15 1. Метод «склейки» (15). 2. О понятии топологического пространства (18). 3. Склейка двумерных поверхностей (19)

§ 4. Понятие римановой поверхности 26

§ 5. Немного об узлах 31
Обзор рекомендуемой литературы 34

Глава II. Общая топология 35

§ 1. Топологическое пространство и непрерывное отображение 37
1. Определение топологического пространства (37). 2. Окрестности (39). 3. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм (40). 4. Подпространство топологического пространства (42)

§ 2. Топология и непрерывные отображения метрических пространств. Пространства
И", 5"-', С" . 43
1. Топология в метрическом пространстве (43). 2. Пространство Цп (44). 3. Шар 7)ч» гомеоморфен Кт (47)

§ 3. Фактор-пространство и фактор-топология . 49

1. Определение фактор-топологии (49). 2. Примеры фактор-пространств (50).
3. Отображения фактор-пространств (51)

§ 4. Классификация поверхностей 54

1. Поверхности и их триангуляция (54). 2. Развертка поверхности (56). 3. Классификация разверток (57). 4. Эйлерова характеристика и топологическая классификация поверхностей (61)

§ 5. Пространства орбит; проективные и линзовые пространства 64
1. Определение пространства орбит (64). 2. Проективные пространства Црп, СРп (64). 3. Линзовые пространства (65)

§ 6. Операции над множествами в топологическом пространстве 66

1. Замыкание множества (66). 2. Внутренность множества (68). 3. Граница множества (69)

§ 7. Операции над множествами в метрическом пространстве. Шар и сфера. Полнота 70

1. Операции над множествами в метрическом пространстве (70). 2. Шар и сфера в К" (71). 3. Шар и сфера в произвольном метрическом пространстве (72). 4. Полнота метрических пространств (73)

§ 8. Свойства непрерывных отображений .74

1. Эквивалентные определения непрерывного отображения (74). 2. Три задачи о непрерывных отображениях (75)

§ 9. Произведение топологических пространств 77
1. Топология в прямом произведении пространств (77). 2. Непрерывные отображения в произведение пространств (80)

§ 10. Связность топологических пространств 82
1. Понятие связности топологического пространства (82). 2. Свойства связных пространств (83). 3. Связные компоненты (86)

§ 11. Аксиомы счетшети и отделимости 86
1. Аксиомы счетности (86). 2. Свойства отделимости пространства (89)

§ 12. Нормальные пространства и функциональная отделимость до

1. Эквивалентное определение нормального пространства (90). 2. Функциональная отделимость. Теоремы Урысона о продолжении числовых функций (91) Пространство непрерывных отображений (111). 2. Гомотопия (113). 3. Продолжение отображений (115). 4. Ретракция (116). 5. Цилиндр отображения (117)
§ 2. Категория, функтор и алгебраизация топологических задач.....118

§ 13. Компактные пространства и их отображения 95

1. Понятие компактного пространства (95). 2. Отображения компактных пространств (100). 3. Произведение компактных пространств (101). 4. Компактность в метрическом пространстве (103)
§ 14. Контактные расширения топологических пространств. Метризация . . .104 1. Компактные расширения (104). 2. Метризуемость топологических пространств (106)
Обзор рекомендуемой литературы 107

Глава III. Теория гомотопий . 109

§ 1. Пространство отображений. Гомотопий, ретракции, деформации . ... 111

1. Категория (118). 2. Функторы (120)

§ 3. Функторы гомотопических групп 121

1. Гомотопическая группа пространства (122). 2. Фундаментальная группа (128)

§ 4. Вычисление фундаментальных и гомотопических групп некоторых пространств 132
1. Линейчатые пути на поверхности и их комбинаторные гомотопий (132).
2. Комбинаторные аппроксимации путей и гомотопий (134). 3. Фундаментальная группа окружности (137). 4. Фундаментальная группа поверхности (138). 5. Топологическая инвариантность эйлеровой характеристики поверхности (141). 6. О вычислении высших гомотопических групп (141). 7. Некоторые применения (143). 8. Степень отображения (144)
Обзор рекомендуемой литературы 146

Глава IV. Многообразия и расслоения 147

§ 1. Основные понятия дифференциального исчисления в п-мерном пространстве . 149 1. Гладкие отображения (149). 2. Ранг отображения (150). 3. Теорема о неявной функции (150). 4. «Криволинейные» системы координат (152). 5. Теорема о выпрямлении (152). 6. Лемма о представлении гладких функций (155) ,

§ 2. Гладкие подмногообразия в евклидовом пространстве 156

§ 1. Понятие гладкого подмногообразия в Нк (156). 2. Примеры подмногообразий (158)

§ 3. Гладкие многообразия ' 161
1. Понятие гладкого многообразия (161). 2. Проективные пространства (165).
3. Индуцированные структуры (166). 4. Многообразия матриц (167). 5. Многообразия Грассмана (168). 6. Произведение многообразий (170). 7. Риманова поверхность (170). 8. Конфигурационное пространство (171). 9. Многообразия с краем (171). 10. Существование гладких структур (172)

§ 4. Гладкие функции на многообразии и гладкое разбиение единицы . . .173 1. Понятие гладкой функции на многообразии (173). 2. Разбиение единицы (174). 3. Алгебра С-функций на многообразии (177)

§ 5. Отображения многообразий , 179
1. Понятие гладкого отображения (179). 2. Регулярные и нерегулярные точки гладкого отображения. Иммерсии, субмерсии, вложения, подмногообразия (182). 3. Теорема Сарда. Понятие степени отображения по модулю 2 (187)

§ 6. Касательное расслоение и касательное отображение 188
1. Идея касательного пространства (188). 2. Понятие касательного пространства к многообразию (189). 3. Касательное расслоение (193). 4. Риманова метрика (195). 5. Касательное отображение (196). 6. Ориентация многообразия (198)

§ 7. Касательный вектор как дифференциальный оператор. Дифференциал функции
и кокасательное расслоение 200
1. Повое определение вектора (200). 2. Касательное расслоение (202). 3. Касательное отображение (206). 4. Дифференциал функции и кокасательное расслоение (207)

§ 8. Векторные поля на гладких многообразиях 209
1. Касательный вектор к гладкому пути (209). 2. Динамическая группа физической системы и ее инфинитезимальная образующая (210). 3. Гладкое векторное поле (211). Алгебра Ли векторных полей (213). 5. Ковекторные поля (214)

§ 9. Расслоения и накрытия 214
1. Подготовительные примеры (214). 2. Определение расслоения (216). 3. Векторные расслоения (218). 4. Накрытия (219). 5. Разветвленные накрытия (222)

§ 10. Гладкая функция на многообразии и клеточная структура многообразия
(пример) 224
1. Пример функции на торе (224). 2. Клеточный комплекс (227)

§11. Невырожденная критическая точка и ее индекс 229
1. Невырожденные критические точки (229). 2. Лемма Морса (230). 3. Поле градиента (232)

§ 12. Описание гомотопического типа многообразия с помощью критических значений 233 1. Строение лебеговых множеств гладких функций (233). 2. Условия гомотопической эквивалентности лебеговых множеств (233). 3. Изменение гомотопического типа при переходе через критическое значение (234). 4. Гомотопический тип многообразия (237)
Обзор рекомендуемой литературы 238

Глава V. Теория гомологий 239

§ 1. Вступительные замечания 241

§ 2. Гомологии цепных комплексов 243

§ 3. Группы гомологий симплициальпых комплексов 245
1. Симплициальные комплексы и полиэдры (245). 2. Гомологии симплициальпых комплексов и полиэдров (247). 3. Вычисление гомологий конкретных полиэдров (248). 4. Барицентрические подразделения. Симплициальные отображения (252)

§ 4. Сингулярная теория гомологий 255
1. Группы сингулярных гомологий (255). 2. Свойства групп сингулярных гомологий (257). 3. Гомологии и гомотопий (262)

§ 5. Аксиомы теории гомологий 263

§ 6. Гомологии сфер. Степень отображения 265
1. Группы гомологий сферы'(265). Степень отображения (269)

§ 7. Гомологии клеточного комплекса 273

§ 8. Эйлерова характеристика и число Лефшеца 2751. Число Лефшеца симплициального отображения (276). 2. Число Лефшеца непрерывного отображения (279). 3. Эйлерова характеристика многообразия и особые точки векторного поля (281) Обзор рекомендуемой литературы 283

Литература . 285

Именной указатель 288

Предметный указатель 289