АННОТАЦИЯ
Монография, написанная более 40 лет назад крупным французским математиком Адамаром, представляет собой классический труд по теории линейных уравнений с частными производными. В книге впервые построено фундаментальное решение линейного гиперболического и эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Обсуждается вопрос о принципе Гюйгенса.
*
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к английскому изданию 7
Из предисловия к французскому изданию 9
КНИГА I
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ КОШИ
Глава I. Основная теорема Коши. Характеристики 11
Глава II. Обсуждение результатов Коши. Три типа уравнений второго порядка 29
КНИГА II
ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА И ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РЕШЕНИЕ
Глава I. Классические результаты 50
Глава II. Основная формула 67
Глава III. Элементарное решение 81
1. Общие замечания 81
2. Решения с алгебраической особенностью 84
3. Случай характеристического коноида. Построение элементарного решения 93
Дополнительное замечание об уравнениях геодезических линий . . 124
КНИГА III
УРАВНЕНИЯ С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава I. Введение несобственных интегралов нового вида .... 127
1. Обсуждение предыдущих результатов 127
2. Конечная часть однократного расходящегося интеграла 143
3. Случай кратных интегралов . 152
4. Несколько важных примеров 161
Глава II. Интегрирование уравнений с нечетным числом независимых переменных 170
Глава III. Исследование полученного решения 191
Глава IV. Приложения к некоторым обычным уравнениям . . 217
КНИГА IV
УРАВНЕНИЯ С ЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И МЕТОД СПУСКА
Глава I. Интегрирование уравнений с 2т 1 независимыми переменными 223
1. Формулы, дающие решение 223
2. Классические примеры 256
3. Задача смешанного типа. Приложение к разрешимости задачи Коши 265
Глава II. Другие применения метода спуска 281
1. Спуск от т четного к т нечетному 281
2. Свойства коэффициентов элементарного решения . . 286
3. Исследование неаналитических уравнений .... 297
Дополнительное замечание 347
Примечания редактора и переводчика 349
Библиография основных работ, посвященных задаче Коши для гиперболических уравнений 350
***
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Имя французского ученого Жака Адамара (1865—1963) известно широкому кругу математиков и физиков. Его работы охватывают различные области математики: теорию чисел, теорию аналитических функций, теорию дифференциальных уравнений с частными производными. Адамар занимался также вопросами распространения волн. Ему, в частности, принадлежит вывод условий совместности различного порядка на фронте волны, распространяющейся в сплошной среде.
Предлагаемая вниманию читателя книга возникла на основе лекций, прочитанных автором в 1920 г. в Иэльском университете. Издание этой книги на английском языке появилось в 1923 г. Оно было повторено без изменений в 1952 г. Французское издание, заново пересмотренное и существенно дополненное автором, вышло в свет в 1932 г. в Париже. Настоящий перевод сделан с этого издания.
Данная книга представляет собой фундаментальный труд по линейным гиперболическим уравнениям второго порядка со многими независимыми переменными.
Книга состоит из четырех частей. В первой части рассматриваются общие свойства задачи Коши. Здесь же приводится знаменитый пример, иллюстрирующий некорректность задачи Коши для уравнений эллиптического типа.
Во второй части путем обобщения метода Римана построено фундаментальное решение линейного гиперболического (и эллиптического) уравнения с переменными коэффициентами. Предварительно вводится метрика пространства. Фундаментальное решение записывается в виде ряда по степеням квадрата геодезического расстояния.
В третьей и четвертой частях решается задача Коши для нечетного и четного числа независимых переменных. При этом используется фундаментальное решение, построенное ранее. Решение задачи Коши выражается в виде «конечной части» расходящегося интеграла. Для нахождения решения при четном числе независимых переменных использован метод спуска.
В четвертой части исследованы свойства фундаментального решения и его коэффициентов. Во второй главе четвертой части рассмотрены гиперболические уравнения с неаналитическими коэффициентами. Построенное Адамаром решение позволяет описать распространение слабых возмущений в неоднородной среде.
За сорок с небольшим лет, прошедших со времени выхода в свет французского издания книги Адамара, появилось значительное количество работ, посвященных гиперболическим уравнениям с частными производными (библиография основных работ, посвященных задаче Коши для гиперболических уравнений, дана на стр. 350—351). Понятие «конечной части» расходящегося интеграла способствовало созданию теории обобщенных функций (С. Л. Соболев, Л. Шварц). Используя обобщенные функции, можно записать решение задачи Коши для гиперболических уравнений, не прибегая к понятию «конечной части». Вопрос о корректности задачи Коши на многообразиях непространственного типа для гиперболических (и ультрагиперболических) уравнений с постоянными коэффициентами получил решение благодаря работам Асгейрссона и Джона. В пятидесятых годах было доказано существование фундаментального решения у любого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами.
Тем не менее всестороннее и тонкое исследование задачи Коши, выполненное Адамаром для уравнения второго порядка, сохраняет свое значение и по настоящее время.
Книга Адамара написана живым и интересным языком.
При переводе были исправлены мелкие неточности и опечатки. Мы опустили приложения к книге. В конце книги помещены примечания редактора и переводчика. Ссылки на них отмечены звездочками.
В переводе принимала участие М. В. Пискарёва. Книга представляет интерес для математиков, а также механиков и физиков, занимающихся вопросами распространения волн.
О. М. Белоцерковский
