Тази книга съдържа част от тематиката на математическите олимпиади: комбинаторика, делимост на числата и векторния апарат в геометрията. Въпросите, отнасящи се до алгебрата, планиметрията и стереометрията, ще бъдат изложени в аналогичен план в следваща книга.
Всеки раздел съдържа най-важните положения от теорията и методически указания за приложенията им, илюстрирани с решени типове задачи. Посочена е и литература по разглежданите въпроси.
Книгата е предназначена за ученици, които проявяват специални интереси към математиката и се гртвят за участие в олимпиади, конкурси, теоретични конференции и други състезания. Тя ще бъде полезна и за всички, които ръководят извънкласни форми на работа по математика.
**
Предговор
Настоящата книга е предназначена за ученици, които имат специални интереси към математиката, и за учители, които ръководят^кръжоци или школи по математика в последните класове на ЕСПУ. Тя съдържа три глави, задачите в които са подбрани предимно измежду даваните на републиканските олимпиади по математика, международните олимпиади по математика и конкурсните задачи от списанията „Математика" и „Квант". Освен това в книгата е изложен и основният теоретичен материал, който не влиза в задължителната програма по математика за средните училища, но е необходим за тези, които участвуват в олимпиадите по математика. Този материал и методическите препоръки ~са изложени до степен, необходима за решаване на задачите. В редица случаи са дадени доказателства на основни факти, тъй като характерът на тези доказателства определя и методически насоки за решаване на задачи. Всеки раздел съдържа решения на типове задачи, а за решенията на задачите, на които са^поместени само условията, е посочено къде в цитираната литература се намират. В края на почти всеки раздел е посочена литература, от която читателите могат да разширят още повече своите познания.
Първата глава „Комбинаторика" е разделена на 19 параграфа.*В нея е отделено внимание на задачи, свързани с елементарната теория на вероятностите, изложени са основните комбинаторни понятия, като комбинации, вариации и пермутации със и без повторение, принципът за включване и изключване, ком-бинаторно е изведена и формулата за Нютоновик бином. Съдържащите се в тази глава „логически задачи" (параграфи № 2, 8, 13, 14, 15 и 19) използуват сравнително малко математически знания, но твърде много математическа съобрази-телност. Тук са намерили мясго и задачи от теорията на графите, които в последните години фигурират все по-често в темите на републиканските олимпиади.
Втората глава „Делимост на числата" съдържа 15 параграфа. В нея са събрани задачи, отнасящи се до елементарната делимост на числата, понятията НОД и НОК, прости числа и основната теорема на аритметиката. Изложена е теорията на сравненията и е показано как тя може да бъде използувана за решаване на задачи от делимост на числата. Включена е теоремата на Ферма — Ойлер, а пет параграфа са посветени на решаване на диофантови уравнения. Разгледани са и задачи, свързани с основните свойства на функцията [х].
Третата глава „Векторният апарат в геометрията" е разделена на 23 пара-рафа. В първите 16 параграфа са разгледани планиметрични задачи, които се решават с помощта на апарата на векторното смятане. Отделено е специално място на класическите теореми на Менелай, Чева, ДезарГ, Лайбниц и др., както и ни интересни техни обобщения. Параграф № 22 е посветен на теоремите на Менелай и Чева за тетраедър. Разгледани са също така и задачи, свързани с геометрични места в пространството и за сечения на пространствени тела с равнини.
Номерацията на параграфите, задачите и формулите е отделна за всяка глава. Ако някоя задача е давана на международна олимпиада по математика (МОМ) или на заключителен кръг на олимпиада по математика в България (РО), това е посочено след номерирането й. На някои задачи е посочен авторът. Книгата съдържа общо 339 задачи, от които 29 са давани на международни олимпиади по математика и 17 на републикански олимпиади по математика в България. При посочване на литература първото число е номерът на заглавието й в цитираната на края на книгата литература, последното — страницата. В случай че яюсочената литература е списание, второто число показва годината, а третото — номера на книжката.
Авторите
**
Съдържание
Предговор 3
Глава първа — Комбинаторика 5
§ 1. Съединения без повторения 5
§ 2. Задачи за шахматни дъски 11
§ 3. Нютонов бином 14
§ 4. Съединения с повторения 16
§ 5. Пораждащи функции 20
§ 6. Разлагане на числа 24
§ 7. Принцип за включване и изключване 29
§ 8. Логически квадрати 31
§ 9. Вероятност на събитие 32
§ 10. Събиране и умножение на вероятности 33
§ 11. Формула на Бейес 35
§ 12. Формула на Бернули 36
§ 13. Изпъкнали фигури 37
§ 14. Покрития 45
§ 15. Принцип на Дирихле 51
§ 16. Графи. Задачи за познанства 54
§ 17. Оцветяване на карти 58
§ 18. Системи различни представители 59
§ 19. Две задачи за претегляне 60
Глава втора — Делимост на числата 63
§ 1. Деление с остатък 63
§ 2. Прости числа. Канонично разлагане на естествените числа 68
§ 3. Сравнения 72
§ 4. Бройни системи 75
§ 5. „Малката" теорема на Ферма 80
§ 6. Теорема на Ойлер 82
§ 7. Теорема на Уилсон 89
§ 8. Функцията [л:] 91
§ 9. Диофантови уравнения 106
§ 10. Питагорови пиела 109
§ 11. Диофантови уравнения от втора степен 110
§ 12. Диофантови уравнения от трета и по-висока степен 116
§ 13. Трансцендентни диофантови уравнения 120
§ 14. Задачи от общ характер 122
§ 15. Целочислени решетки 125
Глава трета — Векторният апарат в геометрията 127
§ 1. Представяне на точките от права 129
$ 2. Представяне на точките в равнина 132
§ 3. Чевиани 134
§ 4. Забележителни точки в триъгълника 135
§ 5. Лице на триъгълник 144
§ 6. Обобщена теорема на Лайбниц 146
§ 7. Разстояние между две точки 147
§ 8. Уравнение на права 149
§ 9. Обобщени теореми на Менелай и Чева 149
§ 10. Теорема на Дезарг 151
§ 11. Медицентър и ортоцентър на вписан многоъгълник 151
§ 12. Основен метод на векторното смятане за решаване на равнинни задачи 153.
§ 13. Задачи, свързани с окръжности 159
§ 14. Задачи, свързани с ротация на вектори 162
§ 15. Задачи за пресмятане на лица 166
§ 16. Задачи за геометрични места 171
§ 17. Представяне на точките в пространството 177
§ 18. Забележителни точки в тетраедъра 178
§ 19. Основен метод на векторното смятане за решаване на пространствени за¬дачи 183
§ 20. Задачи за сечения на пирамиди 191
§ 21. Обем на пирамида 193
§ 22. Теореми на Менелай и Чева за тетраедър 196
§ 23. Задачи за геометрични места в пространството 230
Литература 205
